Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
движущаяся со скоростью v и попадающая в шар в направлении его центра,
застревает в нем, а шар отклоняется. Какова будет скорость и шара с
застрявшей в нем пулей? Если попытаться проанализировать картину
проникновения пули в свинцовый шар, выяснить зависимость от времени
возникающих при этом сил и затем решить уравнения движения, то будет
затрачено много усилий и все же не будет уверенности в результате, потому
что для его получения придется принять многие допущения, строгое
доказательство которых оказывается затруднительным.
Если же воспользоваться законом сохранения импульса, то задача решается
достаточно просто и совсем не надо знать деталей проникновения пули в
шар. В горизонтальном направлении силы отсутствуют и система шар-пуля
является изолированной. Закон сохранения импульса записывается в виде
равенства суммарного импульса шара и пули до столкновения и импульса шара
с застрявшей в нем пулей после столкновения, т. е. m2v - - (mi + тг) и•
Обычно с помощью баллистического маятника измеряется скорость пули v,
потому что скорость шара с застрявшей в нем пулей, массы шара и пули
можно легко измерить.
Определение скорости пу^и при помощи баллистического маятника
В каком случае закон сохранения импульса можно применить к
неизолированной системе!
На систему бильярдных шаров, движущихся по горизонтальному стопу,
действует сила трения и поэтому эта система в отношении горизонтальных
движений не является изолированной. Можно ли применять закон сохранения
импульса к столкновению шаров! Почему!
Можно ли систему взаимодействующих электрических зарядов, вообще говоря,
рассматривать как изолированную! Какие факторы следует при этом учесть!
154
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
26. Закон сохранения момента импульса
Формулировка закона. Этот закон, так же как и закон сохранения импульса,
справедлив лишь для изолированных систем. Для них момент внешних сил М
равен нулю и уравнение моментов (22.4) принимает вид
4^-0. (26.1)
Интегрируя это уравнение, получаем
(26.2)
N = const,
Nx = const, Nu - const, Nz = const.
(26.2a)
Это равенство выражает закон сохранения момента импульса: момент импульса
изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих
внутри системы.
Закон сохранения для отдельных компонент. Может случиться, что система не
является полностью изолированной, но в некотором направлении, например
вдоль оси z, компонента момента сил равна нулю. Тогда уравнение моментов
(23.5) запишется в компонентах следующим образом:
Чг=му-=м- ^г=°- (26-3>
Следовательно, систему можно считать изолированной лишь в отношении z-vl
компоненты момента импульса:
Nz - const. (26.4)
Поэтому закон сохранения момента импульса, так же как и импульса, можно
применять не только к полностью изолированным системам, но и к частично
изолированным.
О применениях. Примеры применения закона для решения конкретных задач
приведены в последующих главах. Здесь же проиллюстрируем его
эффективность лишь на одном примере.
Через закрепленную жестко трубу продета нить, на конце которой подвешено
тело массы т, могущее вращаться по окружности вокруг оси вращения,
совпадающей с осью трубы (рис. 47). Пусть в начальный момент тело
движется по окружности радиуса гг со скоростью vv Затем к нити
прилагается сила F, в результате чего тело массы т начинает двигаться по
спирали с уменьшающимся радиусом и переменной скоростью. В конце процесса
тело движется по окружности заданного радиуса г2. Требуется определить
скорость v2 тела.
27. Закон сохранения энергии
155
Если решать эту задачу с помощью уравнений движения, то она оказывается
довольно сложной. При движении по спирали сила, действующая вдоль
радиуса, направлена под углом к скорости, вследствие чего скорость будет
увеличиваться. Имея соответствующие данные, можно рассчитать изменение
скорости и найти скорость vv Однако значительно проще решить задачу с
помощью закона сохранения момента импульса. Сила, действующая на массу т,
всегда направлена вдоль радиуса, поэтому ее момент (22.2) равен нулю.
Следовательно, момент импульса сохраняется. В данном случае в исходной
ситуации момент импульса N направлен параллельно оси вращения и равен
r1mvv В конечной ситуации он должен иметь такое же значение, т. е. r1mv1
= r2mv2. Отсюда находим скорость тела: v2 =
= rxvjrt.
27. Закон сохранения энергии
Работа сил. Если под действием силы изменяется абсолютное значение
скорости, то говорят, что сила совершает работу. Если скорость
увеличивается, то принимается, что работа силы положительна, а если
уменьшается, то отрицательна.
Найдем связь между работой и изменением скорости. Сначала рассмотрим
одномерный случай, когда сила действует, например, вдоль оси х и движение
происходит вдоль этой оси. Например, пусть материальная точка массы т0
перемещается под действием силы сжатой или растянутой пружины,
закрепленной в начале системы координат -точке О (рис. 48). Уравнение
движения точки имеет вид
