Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
что
25. Закон сохранения импульса
151
в них сохраняется. Законы сохранения и отвечают на вопрос о том, что в
последовательности физических ситуаций, описываемой уравнениями движения,
остается неизменным, постоянным. Ясно, что физическая теория должна
сформулировать это постоянство в виде постоянств численных значений
соответствующих физических величин, или, как говорят, в виде законов
сохранения.
Математическая сущность механических законов сохранения. Рассмотрим
пример одномерного уравнения Ньютона, которое запишем в виде двух
уравнений:
а) т°Ч^ = Fjc' б) 4г = Vjc' №Л)
Задача считается полностью решенной, если известно положение движущейся
материальной точки в любой момент времени. Поэтому для решения надо
сначала проинтегрировать уравнение (24.1а) и получить vx, а затем,
рассматривая vx как известную величину, интегрированием уравнения (24.16)
получить х (г).
Для очень широкого класса сил первое интегрирование удается произвести в
общем виде и представить результат как постоянство численного значения
определенной комбинации физических величин. Это и есть закон сохранения.
Таким образом,
в механике законы сохранения в математическом смысле сводятся к первым
интегралам уравнений движения.
Однако значение сохраняющихся величин выходит за рамки механики; они
играют важнейшую роль и за пределами механики. Сохраняющиеся физические
величины являются фундаментальными, а их законы сохранения -
фундаментальными законами физики, а не просто результатом математического
упражнения с уравнениями механического движения.
25. Закон сохранения импульса
Изолированная система. Система материальных точек или материальная точка
называется изолированной, если отсутствуют внешние силы. Во Вселенной не
может быть изолированных в абсолютном смысле систем, поскольку все тела
взаимно связаны, например, силами тяготения. Однако при определенных
условиях можно тела считать в достаточной степени изолированными.
Например, материальное тело в некоторой области космического
пространства, достаточно далеко удаленной от массивных небесных тел,
ведет себя как изолированная система. В других случаях движение системы в
определенных направлениях можно рассматривать как движение изолированной
системы, хотя в целом система заведомо не является изолированной.
Закон сохранения импульса для изолированной системы. В изолированной
системе внешние силы отсутствуют. Поэтому в уравне-
152
Глава 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
нии движения (21.11) сила F = 0, и оно принимает вид
(25.1)
Интегрируя это уравнение, получаем
р = const,
(25.2)
рх = const, pv = const, pz - const.
(25.2а)
Это равенство выражает закон сохранения импульса: импульс изолированной
системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.
Для материальной точки закон сохранения импульса означает, что в
отсутствие внешних сил она движется с постоянной скоростью по прямой
линии. Для системы материальных точек в нерелятивистском случае закон
утверждает, что центр масс системы движется равномерно и прямолинейно.
Закон сохранения импульса (25.2) справедлив как в релятивистском, так и
нерелятивистском случае. Однако в релятивистском случае его нельзя
интерпретировать как равномерное и прямолинейное движение центра масс,
потому что в этом случае не существует центра масс, как это было
разобрано в § 23. Однако существует система центра масс, в которой закон
сохранения импульса сводится к равенству р = 0 и означает, что эта
система при любых процессах внутри нее остается системой центра масс.
Законы сохранения для отдельных компонент импульса. Может случиться, что
система материальных точек или отдельная материальная точка не
изолирована, но внешние силы действуют лишь в определенных направлениях,
а в других - отсутствуют. Тогда соответствующим выбором системы координат
можно добиться того, что одна или две компоненты внешних сил обращаются в
нуль. Пусть, например, нет сил в направлениях, параллельных плоскости (х,
у), т. е.
Fx = 0, Fy - О, Fz Ф 0. Тогда уравнение движения (21.11), написанное в
компонентах величин по осям координат, имеет следующий вид:
(25.3)
Интегрируя первые два уравнения, получаем: рх = const, Ру = const.
(25.4)
Это означает, что импульс системы в направлениях, параллельных плоскости
(х, у), сохраняет свое значение и относительно них система ведет себя как
изолированная. Например, вблизи поверхности
25. Закон сохранения импульса
153
Земли силы тяготения вертикальны, горизонтальные составляющие
отсутствуют. Поэтому систему материальных тел относительно горизонтальных
движений можно рассматривать как изолированную, если речь идет о силах
тяготения.
Применение закона сохранения импульса. Примеры применения закона
сохранения для решения конкретных задач будут даны в последующих главах.
Здесь же рассмотрим пример с так называемым баллистическим маятником,
представляющим собой небольшой свинцовый шар массы тл, подвешенный на
длинной нити (рис. 46). Размеры шара таковы, что пуля массы тг,
