Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
at
т. е. представляется как произведение массы системы на скорость ее центра
масс, что совершенно аналогично импульсу материальной точки. За движением
центра масс можно следить так же, как за движением материальной точки.
С учетом выражений (23.8) и (23.9) уравнение движения (23.6) системы
приобретает следующий вид:
(23.10)
т. е. оно эквивалентно уравнению движения материальной точки, вся масса
которой сосредоточена в центре масс, а все внешние силы, действующие на
точки системы, приложены к ее центру масс. Точка центра масс (23.8)
занимает вполне определенное положение относительно материальных точек
системы. Если система не является твердым телом, то взаимное положение ее
точек с течением времени меняется. Вследствие этого меняется и положение
центра масс относительно точек системы, но в каждый данный момент он
имеет вполне определенное положение. Выражение "определенное положение"
означает, что если в этот момент "взглянуть" на систему точек из другой
системы координат, то положение центра масс относительно точек системы
останется неизменным. Это можно доказать следующим образом. Из
определения радиуса-вектора центра масс (23.8) видно, что если точку О,
относительно которой отсчитывается радиус-вектор R, поместить в точку
центра масс, то очевидно, что R = 0. Поэтому если радиусы-векторы г*
отдельных точек системы отсчитывать относительно центра масс, то из
(23.8) находим
= (23.11)
Напомним, что в формуле (23.8) начало радиусов-векторов г{ находится в
произвольной точке, относительно которой положение центра масс системы
дается радиусом-вектором R.
Теперь представим себе, что надо найти центр масс по формуле (23.8),
пользуясь другой точкой отсчета радиусов-векторов, т. е. другой системой
координат. Спрашивается, получим ли мы в качестве центра масс ту же точку
или другую? Найдем положение центра масс, исходя из начала отсчета в
точке О', положение которой характеризуется относительно О радиусом-
вектором р (рис. 45). Вели-
23. Уравнение движения системы материальных точек
147
чины, относящиеся к точке отсчета О', будем обозначать буквами со
штрихами. Чтобы определить положение центра масс относительно точки О',
формулу (23.8) перепишем в виде
R
'=-2
т
m0l Г;.
(23.12)
Учтя, что r[ = Г{ - р, и подставив это выражение в (23.12), находим
m0i =
= R -Р,
(23.13)
где m=2jmoi- Формула (23.13) показывает, что радиус-вектор R',
проведенный из О', действительно заканчивается в той же точке, что и
радиус-вектор R, имеющий начало в точке О. Тем самым доказано, что
положение точки центра масс не зависит от того, в какой системе координат
оно определяется.
Неприменимость понятия центра масс в релятивистском случае. В этом случае
дело обстоит по-другому. Преобразования в выражении для импульса, которые
проведены в (23.7), выполнить нельзя, потому что в этом случае вместо
постоянных масс покоя moi стоят релятивистские массы, зависящие от
времени, так как скорости зависят от времени. Можно было бы попытаться
определить центр масс формулой (23.8), подставив в нее вместо масс покоя
moi релятивистские массы, а под т понимая их сумму. При этом, конечно,
получился бы радиус-вектор, оканчивающийся в некоторой точке. Ее можно
попытаться назвать центром масс. Однако эта точка не имеет смысла. Если
бы мы попытались для данного момента времени найти положение центра масс
в другой системе координат, то получили бы точку, которая относительно
точек системы занимает другое положение. Следовательно, в релятивистском
случае понятие центра масс не является инвариантным понятием,
Инвариантность центра масс системы материальных точек в нерелятивистском
случае
Как определяются импульс системы материальных точек и сила, действующая
на нее!
Как доказывается независимость момента силы, действующего на систему
материальных точек, от внутренних сил, удовлетворяющих третьему закону
Ньютона! Почему в релятивистском случае не имеет смысла понятие центра
масс и какой смысл имеет понятие системы центра масс! Каково должно быть
состояние движения точки, относительно которой написано уравнение
моментов, чтобы оно выполнялось!
Можете ли Вы доказать, что уравнение моментов справедливо относительно
центра масс, хотя движение последнего может быть весьма сложным!
148
Глава 5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
не зависящим от выбора системы координат, и поэтому не применяется. Не
имеет смысла писать уравнения движения этой точки, следить за ее
движением. Тем не менее общепринятым является выражение "система центра
масс". В этой системе центра масс значительно упрощаются многие
релятивистские вопросы. Системой центра масс называется система
координат, в которой сумма импульсов частиц равна нулю. Такую систему
координат можно всегда найти. Это будет сделано дальше при рассмотрении
столкновений. Она характеризуется своей скоростью и, а не тем, где
находится ее начало. Если импульсы частиц в этой системе координат
обозначить р{, то должно быть
