Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
?-й Дочке, обозначаются тем же индексом, что и точка. Например, гь pit v*
и т. д. выражают соответственно радиус-вектор, импульс и скорость i-й
точки.
Не следует, конечно, путать эти индексы с единичными векторами i, j, к,
направленными вдоль осей декартовой системы координат.
Импульс системы. Импульсом системы называется сумма импульсов
материальных точек, ее составляющих:
П
Р - Pi - Pi Ч~ Р2 Ч~ . • • 4~ Рп'
i = 1
В последующем для упрощения написания формул можно не ставить У знака ^
значений индексов, по которым производится суммирование, поскольку это
обычно бывает ясно.
Момент импульса системы. Моментом импульса системы относительно точки О,
принятой за начало, называется сумма моментов импульса материальных точек
системы относительно О:
N = 2Ni = ?[r" Р(]. (23.2)
Момент силы, действующей на систему. Моментом силы, действующей на
систему, относительно точки О называется сумма моментов сил, приложенных
к точкам системы, относительно О:
М = 2М* = 2[г;, FJ. (23.3)
(23.1)
144
Глава 5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
I
В релятивистском случав понятие центра масс не имеет смысла, поскольку
оно не является инвариантом преобразований Лоренца. Од нано понятие
системы центра масс имеет весьма точный смысл и оказывается очень
полезным и ватным.
N = [г, р].
М= [г, F].
/
Момент внутренних сил, приложенных к точкам I и равен нулю согласно
третьему закону Ньютона
В силу третьего закона Ньютона выражение в правой части (23.3)
значительно упрощается, поскольку моменты всех внутренних сил взаимно
уничтожаются. Чтобы это доказать, учтем, что сила F{, действующая на i-ю
точку системы, слагается из внешней силы FiBH и суммы внутренних сил
взаимодействия, т. е. сил, приложенных к данной точке со стороны всех
других точек системы. Обозначив внутреннюю силу, действующую на точку i
со стороны точки /, как fjit представим полную силу F{ в виде
Fi = FiB"+? f... (23.4)
}фг
Знак j Ф I у суммы показывает, что надо суммировать по всем значениям /,
за исключением значения j - I, поскольку действие точки самой на себя
отсутствует. Можно, конечно, было бы и не писать этого значка, заметив,
что f;-j = 0.
Подставив (23.4) в (23.3), запишем момент сил в виде двух слагаемых:
M = 2fr" FiB"] + 2[n, fjj. (23.5)
i i. j
Вторая сумма является двойной суммой по обоим индексам, т. е. при каждом
значении одного из индексов второй пробегает всевозможные значения.
Следует поупражняться в расписании таких сумм.
Покажем, что вторая сумма в (23.5) равна нулю. Учтем, что по третьему
закону Ньютона, fy + f;i = 0, поскольку сила действия г-й точки на /-ю
равна силе действия /-й точки на i-ю и противоположно направлена.
Рассмотрим момент действующих на точки i и /' сил взаимодействия (рис.
44). Вектор г^-, соединяющий эти точки, направлен от i к /. Момент сил и
относительно точки О равен
М' = [г" !"] + !>" ("].
23. Уравнение движения системы материальных точек
145
поскольку векторы и f;i параллельны и их векторное произведение равно
нулю. Таким образом, моменты всех внутренних сил взаимодействия во второй
сумме в правой части (23.5) взаимно сократятся и вся сумма оказывается
равной нулю. Остается только первый член, который равен сумме моментов
внешних сил, приложенных к отдельным точкам системы. Поэтому, говоря о
моменте сил, действующем на систему материальных точек, можно иметь в
виду определение (23.3), понимая под силами F* только внешние силы.
Уравнение движения системы материальных точек. Продифференцируем (23.1)
по времени и учтем, что уравнение движения г-й точки на основании (21.11)
имеет вид (dpjdt) = F*:
Величина F, равная сумме сил, действующих на точки системы, называется
силой, приложенной к системе точек, или внешней силой, так как в сумме
(23.6а) все внутренние силы взаимно сокращаются. Уравнение (23.6) по
внешнему виду полностью совпадает с уравнением (21.11) для материальной
точки, но по содержанию отлично от него, поскольку физические носители
импульса р распределены по всему пространству, занимаемому системой
точек; точки приложения внешних сил, составляющих F, распределены
аналогичным образом. Лишь в нерелятивистском случае можно дать такое
истолкование уравнениям (23.6), которое близко к смыслу уравнения
(21.11).
Центр масс. В нерелятивистском случае, т. е. при движении с малыми
скоростями, можно ввести понятие центра масс. Прежде всего рассмотрим
выражения для импульса системы точек в нерелятивистском случае:
где под т= ?moi понимается масса системы как сумма масс покоя
составляющих ее точек.
Радиус-вектор
dp V4 йр; V4 р ______и
dt ~ L dt ~ Ь U dt
где
(23.6)
F = SFf.
(23.6а)
VI VI dr; d \\
Р =2 m°iVi = 2 m0i Л = 5F 2 m°
R=4'2m'"r<
(23.8)
146
Глава 5. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
определяет воображаемую точку, которая называется центром масс системы.
Величина (dR/dt) - V есть скорость движения этой воображаемой точки.
Импульс системы (23.7) с учетом (23.8) записывается в виде
р - т - mV, (23.9)
