Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
учитывая (18.3), находим:
/ dx' "/ dy' , dz'
их ~dV1 Uy~dt' 1 ' U2~dt'
dx d-У dz
их ~ dt ' uy~ dt' U*=df
u' + v
VU'
1+ -Г с2
иу =
Vi - У2/с2 и'
1+
VU'
Uz -
У1 - V2fc2u'z
vuf 1 +_*
(18.6)
Это есть искомые формулы сложения скоростей теории относительности.
Формулы обратного преобразования согласно принципу относительности
получаются, как обычно, заменой штрихованных величин на нештрихованные и
скорости v на -v.
Из формулы (18.6) следует, что скорость света постоянна, и сложение
скоростей никогда не приводит к скоростям, большим скорости света.
Докажем это. Пусть иу - иг 0, и'х = с. Тогда из
(18.6) находим:
"" = -?±ЙГ"с. ". = 0! "" = <>• (18.7)
'+?
124
Глава 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
Конечно, этот результат вполне естествен, потому что сами формулы
преобразований получены в конечном счете из требования постоянства
скорости света.
Аберрация. Пусть в штрихованной системе координат вдоль оси у'
распространяется луч света, т. е.
ц' = 0, п' = с, п' = 0. (18.8)
В неподвижной системе координат получаем:
их- v, Uy - ^/Г1 ^2 с, иг 0. (18.9)
Следовательно, в неподвижной системе координат луч света составляет с
осью у угол р, определяемый соотношением
18Р = ^ = -^=Ц=- (18.10)
Uy су 1 - V7е
Для (у/с) 1 (18.10) совпадает с формулой (13.5) классической
теории:
tgP = y±/c, (18.11)
но содержание ее иное. В классической теории необходимо было различать
случаи: движущийся источник - покоящийся наблюдатель и движущийся
наблюдатель - покоящийся источник. В теории относительности имеется лишь
один случай относительного движения источника и наблюдателя.
Интерпретация опыта Физо. Результат опыта Физо (13.23) является
естественным следствием формулы сложения скоростей теории
относительности.
Скорость света относительно неподвижной среды с показателем преломления п
равна cln. Совмещая ось х' с направлением движения среды, мы имеем в
движущейся системе координат для скорости света следующие выражения:
их = с/п, и'у - 0, и[ = 0. (18.12)
Отсюда по формулам (18.6) находим компоненты скорости света в той системе
координат, относительно которой среда движется со скоростью ±v:
""=0' и'=°> <1813>
где знак плюс относится к случаю, когда направления распространения света
в среде и движения среды совпадают, а знак минус - когда эти направления
противоположны.
18. Сложение скоростей и преобразование ускорений
125
Принимая во внимание малость величины {vie) 1, выражение (18.13)
преобразуем следующим образом:
"•~(т±в)(1+?)~7 + ?±в=т±(1-;?Ь <18л4>
где отброшены члены первого порядка по vie и более высоких порядков. Это
выражение полностью согласуется с формулой (13.23). Таким образом,
результат опыта Физо является экспериментальным подтверждением формулы
сложения скоростей теории относительности.
Преобразование ускорения. Пусть в штрихованной системе координат
материальная точка испытывает ускорение, компоненты которого w'x, w'y,
w'z, но скорость ее в этот момент равна нулю. Таким образом, в
штрихованной системе координат движение точки характеризуется следующими
формулами:
= < и;=и;=и; = о. (i8.i5)
Определим движение точки в нештрихованной системе координат. Скорость
находим по формулам (18.6):
ux = v, иу - 0, uz = 0. (18.16)
Ускорение в нештрихованной системе координат равно:
dux duij ditу /Ао jп,
(r).=-5f. ¦""=-/. i- <18Л7>
Величины dt, dux, duv, duz определяются по формулам (18.5) и (18.6),
причем скорости их, иу, uz можно полагать равными нулю лишь после
вычисления дифференциалов. Например, для dux имеем
du'x (u'x+v)(v/c*)du'x du'x / VU'X VU'X w*\
x - 1 + vu'Jc2 (l + vu'Jc2)2 (1-f-i;w'/c2)2 \ c2 c2 c2/-
X L -p SU
1 - V2/c2
dux.
(l + i;w'/c2)2
Отсюда с учетом (18.5) находим
IЛ v2\3/2 du' j V2 N 3/2
ю* =-sf = i1 - ?) ^ = (1-3) ";.¦ <18-i8>
где в соответствии с (18.15) положено их = 0.
126
Глава 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
Аналогично вычисляют дифференциалы duy и duz. Таким образом получают
следующие формулы преобразования ускорения:
(18.19)
Точка при этом движется в нештрихованной системе со скоростью v. Поэтому
формулы (18.19) означают следующее. С движущейся материальной точкой
можно связать инерциальную систему координат, в которой она в данный
момент покоится. Такая система координат называется сопровождающей. Если
в этой системе точка движется с ускорением, то и в любой другой системе,
координат она будет двигаться с ускорением, однако это ускорение будет
иным, но всегда меньше. Компонента ускорения вдоль движения уменьшается
пропорционально множителю '(1 - iPIc2)312, где V - скорость частицы в той
системе координат, в которой ее ускорение рассматривается. Поперечная
составляющая ускорения, которая перпендикулярна скорости частицы,
изменяется меньше. Ее уменьшение пропорционально множителю У1 - н2/с2.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Глава 5
19. Силы
20. Законы Ньютона
21. Релятивистское уравнение движения
22. Уравнение моментов
23. Уравнение движения системы материальных точек
