Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
(15.2) видно, что если х1 > х2, то в системе координат, движущейся в
направлении положительных значений оси х (v > 0), имеет место неравенство
t\ > t[, а в системе координат, движущейся в противоположном направлении
(у < 0), t'2 <С t[. Таким образом, последовательность одних и тех же
событий в различных системах координат различна. Спрашивается, не может
ли случиться так, что в одной системе координат причина предшествует
следствию, а в другой, наоборот, следствие предшествует причине? Ясно,
что такая ситуация не может быть допущена в теории, которая признает
объективную роль причинно-следственной связи в мире: от перемены точки
зрения на события следствие и причина не могут меняться местами.
Чтобы причинно-следственная связь имела объективный характер и не
зависела от системы координат, в которой она рассматривается, необходимо,
чтобы никакие материальные воздей-действия, осуществляющие физическую
связь событий, происходящих в различных точках, не могли передаваться со
скоростью, большей скорости света.
Для доказательства рассмотрим два события в покоящейся системе координат.
Пусть событие в точке хх, происшедшее в момент flt будет причиной события
в точке х2 > х1г происшедшего в момент l2> tx. Скорость передачи
"влияния" от точки хх к точке х2 обозначим через 1>вл- Очевидно, по
определению скорости, имеем
#2
уВЛ
t2-tx. (15.3)
В движущейся системе координат эти события произошли в некоторых точках
х\ и х2 в моменты t[ и t2. По формуле (14.22) можно написать
ц-ц = WK-.SI = /l - - "Л, (15.4)
Vi -v2!c2 Vi - У2/с2\ С2 / V '
где в последнем равенстве величина х2 - хх исключена с помощью
(15.3). Формула (15.4) показывает, что если
1-^вл<0, (15.5)
то в движущейся системе координат следствие наступает раньше причины. Но
это невозможно. Поэтому всегда должно быть 1 - (wWc2) > 0, или
^ВЛ v С'
(15.6)
15. Относительность одновременности
109
Так как преобразования Лоренца допускают для и значения, сколь угодно
близкие к скорости света, но не превосходящие ее (тогда преобразования
перестают быть вещественными), то требование (15.6) должно быть записано
следующим образом:
(15.7)
Таким образом, передача физического влияния из одной точки в другую не
может происходить со скоростью, большей скорости света. При этом условии
причинная связь событий носит абсолютный характер: не существует системы
координат, в которой причина и следствие меняются местами.
Инвариантность интервала. В § 12 было охарактеризовано значение
инвариантов преобразований для теории. Инвариантами преобразования
Галилея являются длина тел и промежуток времени между событиями. Именно
поэтому понятия длины и промежутка времени играют такую большую роль в
классической физике.
Однако ни длина тел, ни промежутки времени между событиями не являются
инвариантами преобразований Лоренца. Это означает, что они зависят от
системы координат. В следующих параграфах этот вопрос будет более
подробно рассмотрен. Здесь же лишь отметим это обстоятельство, чтобы
перейти к анализу важного инварианта преобразований Лоренца, который
называется пространственно-временным интервалом или просто интервалом.
Пусть события произошли в точке хг, ylt zx в момент tx и в точке х2, у2,
z2 в момент t2. Интервалом между этими событиями, или, как говорят
короче, интервалом между точками a^iZ^ и x2y2z2t2i называется величина s,
квадрат которой определяется формулой
s2 == (х2 - хгу + (г/2 - 2/i)2 + (z2 - Zx)2 - с2 (t2 - h)2. (15.8)
Эта величина имеет во всех системах координат одно и то же зна-
чение, т. е. является инвариантом преобразований Лоренца. Чтобы в этом
убедиться, преобразуем выражение (15.8) в штрихованную систему координат
по формулам (14.4). Имеем
" " - + -
2/2-2/1 = г/2 - у'и
':==z 22 2j f
t f - ~~t>l + № - *3
2 1 v 1 - "*/ ca
110
Глава 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
Подставляя эти выражения в (15.8), находим
(15.9)
Это доказывает, что квадрат интервала является инвариантом: s2 = s'2 -
inv.
Если рассматриваемые точки расположены бесконечно близко, то равенство
(15.9) доказывает инвариантность квадрата дифференциала интервала:
(15.10)
Пространственноподобные и времениподобные интервалы. Обозначим
пространственное расстояние между событиями через I, а промежуток времени
между ними - через t. Квадрат интервала s2 = I2 - сН2 между этими
событиями является инвариантом.
Пусть в некоторой системе координат события не могут быть связаны
причинно. Тогда для них ct и, следовательно, s2 > 0. Из инвариантности
интервала следует, что и во всех других системах координат эти события не
могут быть соединены причинной связью. Справедливо, конечно, и обратное
утверждение: если в некоторой системе координат события могут в принципе
находиться в причинной связи (I <ict, s2 <С 0), то они в принципе могут
находиться в причинной связи и во всех других системах координат.
Интервал, для которого
s2 > 0, (15.11)
называется пространственноподобным, а для которого
