Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Матвеев А.Н. -> "Механика и теория относительности " -> 44

Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.

Матвеев А.Н. Механика и теория относительности — М.: ОНИКС, 2003. — 432 c.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка): mehanikaiteoriyaotnositi2003.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 177 >> Следующая

102
Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
быть равен нулю и преобразования для у и z запишутся следующим образом:
у'^га^ + агу + азг + а^, (14 4)
z' = Ьгх Ъзу + baz +
Ориентировка осей координат указана на рис. 26: ось у' параллельна оси у,
а ось z' - оси z. Поскольку ось х' все время совпадает с осью х, из
условия у = 0 всегда следует равенство у' = 0, а из условия z = 0 -
равенство z' = 0, т. е. должно быть
0 = агх + 0.3Z ad, 0 j= Ь^х -f- b%y -}- ?>4/
(14.5)
при любых X, у, z и t. Это возможно лишь при условии
a1 = a8 = a4 = 0, b1 = b2 = bi = 0. (14.6)
Поэтому преобразования для у и z принимают следующий простой вид:
а' = ау, z' = az, (14.7)
где учтено, что в силу равноправности осей у и z относительно движения
коэффициенты в преобразованиях должны быть одинаковыми: Уз = Ьз = а.
Коэффициент а в формуле (14.7) показывает, во сколько раз длина
некоторого масштаба в штрихованной системе координат больше, чем в
нештрихованной.
Перепишем (14.7) в виде
У = ~У'> Z = TZ'' <14-8)
Величина 1/а показывает, во сколько раз длина некоторого масштаба в
нештрихованной системе больше, чем в штрихованной. Согласно принципу
относительности, обе системы координат равноправны и поэтому при переходе
от одной системы к другой длина масштаба должна изменяться так же, как и
при обратном переходе. Поэтому в формулах (14.7) и (14.8) должно
соблюдаться равенство (1/а) = а, откуда получаем а = 1 (возможное
математически решение а = - 1 исключается в силу выбранной ориентации
осей: положительные значения осей у, z и у', г' совпадают).
Следовательно, преобразования для координат у и z имеют вид:
у'=у, z' = z. (14.9)
Преобразования для х и t. Поскольку переменные у и z преобразуются
отдельно, переменные i и f могут быть связаны линейным преобразованием
только друг с другом. Точка начала движущейся системы координат в
неподвижной имеет координату х = vt,
14. Преобразования Лоренца
103
а в движущейся системе - координату х' - 0. Поэтому в силу линейности
преобразования должно быть
где а - коэффициент пропорциональности, который требуется определить.
Совершенно аналогичные рассуждения можно провести, отправляясь от
движущейся системы, приняв ее за покоящуюся. Тогда в ней точка начала
координат нештрихованной системы имеет координату х' - - vt', поскольку в
штрихованной системе нештрихованная движется в направлении отрицательных
значений оси х. Точка начала координат нештрихованной системы в
нештрихованной системе характеризуется равенством х - 0. Следовательно,
отправляясь от штрихованной системы, как неподвижной, приходим вместо
(14.10) к преобразованию
где а' - коэффициент пропорциональности. Докажем, что согласно принципу
относительности а = а'.
Пусть некоторый стержень покоится в штрихованной системе координат и
имеет в ней длину I. Это означает, что координаты начала и конца стержня
различаются в этой системе на величину I:
В нештрихованной системе этот стержень движется со скоростью V. Длиной
его считается расстояние между двумя точками неподвижной системы, с
которыми в один и тот же момент времени совпадают начало и конец
движущегося стержня. Засечем концы его в момент t0. На основании формул
(14.10) получим для координат засечек х\ и х[ следующие выражения:
х[=^а{х1 - vt0), x2 = a(x2 - vt0). (14.13)
Следовательно, длина движущегося стержня в неподвижной нештрихованной
системе равна
х2 - хх = (х2 - х[)/а - 1/а. (14.14)
Пусть теперь тот же стержень покоится в нештрихованной системе и имеет в
ней длину I. Следовательно, координаты начала и конца стержня различаются
в этой системе на величину I, т. е.
х' - а (х - vt),
(14.10)
х - а' (х' -f vt'),
(14.11)
/ 9 т
Х2 - Х\ = I.
(14.12)
Х2 - Хх = I.
(14.15)
В штрихованной системе, принятой за неподвижную, этот стержень движется
со скоростью -v. Чтобы измерить его длину относительно штрихованной
системы, необходимо засечь начало и конец этого
104
Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
стержня в некоторый момент t[ этой системы. На основании формулы
(14.11) имеем:
Следовательно, длина движущегося стержня в штрихованной системе, принятой
за неподвижную, равна
Согласно принципу относительности обе системы равноправны и длина одного
и того же стержня, движущегося в этих системах с одинаковой скоростью,
должна быть одинаковой. Поэтому в формулах (14.14) и (14.17) должно быть
(1/а) = (I/а'), т. е. а = а', что и требовалось доказать.
Теперь воспользуемся постулатом постоянства скорости света. Пусть в
момент времени, когда начала координат совпадают и когда часы,
находящиеся в началах координат, показывают время t - t' - = 0, из них
испускается световой сигнал. Распространение света в штрихованной и
нештрихованной системах координат описывается равенствами:
в которых учтено, что в обеих системах скорость света имеет одно и то же
значение с. Эти равенства характеризуют положение светового сигнала,
распространяющегося в направлении осей х, х' в любой момент времени
каждой из систем координат. Подставляя (14.18) в формулы (14.10) и
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 177 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed