Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
(13.21)
100
Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
14. Преобразования Лоренца
Постулаты. Поскольку преобразования Галилея для достаточно больших
скоростей приводят к выводам, противоречащим экспериментам, и постоянство
скорости света не является их следствием, они не отражают правильно той
связи, которая существует для координат и времени инерциальных систем
координат, движущихся друг относительно друга. Необходимо найти другие
преобразования, которые правильно описывают экспериментальные факты и, в
частности, приводят к постоянству скорости света. Эти преобразования
называются преобразованиями Лоренца. Они могут быть введены исходя из
двух принципов, обоснование которых было изложено в предыдущих
параграфах:
1) принципа относительности;
2) принципа постоянства скорости света.
Оба эти принципа, хотя и подтверждены многочисленными экспериментами,
имеют характер постулатов и поэтому иногда называются постулатом
относительности и постулатом постоянства скорости света.
Линейность преобразования координат. Ориентировку движущихся систем
координат чисто геометрическими преобразованиями, сводящимися к
пространственным поворотам и переносам начала координат в пределах
каждого из тел отсчета, можно всегда привести к такой, которая изображена
на рис. 26. Поскольку скорости не складываются по классической формуле
(12.10), можно ожидать, что время одной системы координат не выражается
только через время другой системы координат, а зависит также и от
координат. Поэтому в общем случае преобразования имеют следующий вид:
х' = Ф1(х, у, 2, t), у' = Ф2(х, у, z, t), z' = ф3(х, у, z, t), Ф4(я,
у, z, t),
где в правых частях стоят некоторые функции Ф*, вид которых надо найти.
Общий вид этих функций определяется свойствами пространства и времени.
При рассмотрении геометрических соотношений в выбранной системе отсчета и
при измерениях в ней принималось, что каждая точка ничем не отличается от
любой другой точки. Это означает, что начало системы координат может быть
помещено в любой точке и все геометрические соотношения между любыми
геометрическими объектами при этом совершенно одинаковы с теми, которые
получаются при помещении начала координат в любую другую точку. Это
свойство называется однородностью пространства, т. е. свойством
неизменности характеристик пространства при переходе от одной точки к
другой. Можно также в каждой точке пространства оси системы координат
произвольным образом ориентировать в нем, при этом геометрические
соотношения между геометрическими объек-
14. Преобразования Лоренца
101
тами также не изменяются. Это означает, что свойства пространства по
различным направлениям одинаковы. Такое свойство называется изотропностью
пространства.
Однородность и изотропность пространства являются его главными свойствами
в инерциальных системах координат.
Время также обладает важнейшим свойством однородности. Физически это
означает следующее. Пусть некоторая физическая ситуация возникает в
некоторый момент времени. В последующие моменты времени она будет каким-
то образом развиваться. И пусть такая же физическая ситуация возникает в
любой другой момент времени. Если она в последующие моменты времени будет
развиваться относительно этого момента точно так же, как она в первом
случае развивалась относительно своего начального момента, то говорят,
что время однородно. Иначе говоря,
однородность времени есть одинаковость развития и изменения данной
физической ситуации независимо от того, в какой момент времени эта
ситуация сложилась.
Из однородности пространства и времени следует, что преобразования (14.1)
должны быть линейными. Для доказательства рассмотрим бесконечно малое
изменение dx', т. е. разность координат х' двух бесконечно близких точек.
В нештрихованной системе им будут соответствовать бесконечно малые
разности координат dx, dy, dz и времени dt. Из (14.1) можно вычислить
полное изменение dx', связанное с изменениями величин х, у, z, t, по
формуле полного дифференциала, известной из математики:
В силу однородности пространства и времени эти соотношения должны быть
одинаковыми для всех точек пространства и для любых моментов времени. А
это означает, что величины дФ^дх, дФх1ду, дФJdz, дФJdt не должны зависеть
от координат и времени, т. е. являются постоянными. Поэтому функция Ф4
имеет следующий вид:
где Alt А2, А3, А4 и Аъ - постоянные. Таким образом, функция Ф4 (х, у, г,
t) является линейной функцией своих аргументов. Аналогично доказывается,
что в силу однородности пространства и времени и другие функции Ф2, Ф3 и
Ф4 в преобразованиях (14.1) будут линейными функциями от х, у, г, t.
Преобразования для у и z. Точка начала в каждой системе координат
задается равенствами х - у = z - 0, х' - у' = z' - 0. Будем считать, что
в момент t - 0 начала координат совпадают. Тогда свободный член А 5 в
линейных преобразованиях вида (14.3) должен
(14.2)
^i(*> У> zi 0 =-^iх-\-А<2,у-\-A3z-\-А$-\-Аъ,
(14.3)
