Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
вращение, аналогично предыдущему, приводит к возникновению момента сил
Кориолиса относительно оси х по направлению, противоположному
первоначально приложенному моменту сил. Угловая скорость вращения
увеличивается до тех пор, пока возникший относительно оси х момент сил
Кориолиса не скомпенсирует первоначально приложенный момент. Для этого в
соответствии с (67.3) должно быть выполнено соотношение
M - NQ, (67.4)
где М - момент внешних сил относительно оси х, Q - углРвая скорость
вращения диска вокруг оси у. Таким образом, момент сил относительно оси х
никакого вращения диска вокруг этой оси не вызывает, а вызывает вращение
вокруг оси у. Как видно на рис. 166, конец вектора N движется в
направлении вектора М Учитывая, что Q = da/dt, dN = Nda (см. рис. 165),
можно соотношение (67.4) переписать в виде.М = dN/dt или, принимая во
внимание пространственные на-
67. Гироскопические силы
415
правления векторов, непосредственно видные на рис. 165, в вектор ной
форме:
dN/dt = M. (67.5)
Это уравнение моментов, с помощью которого в § 52 было подробно
рассмотрено движение гироскопа.
Таким образом, можно сказать, что прецессионное движение оси гироскопа
вызывается силами Кориолиса. При установившейся прецессии угловая
скорость движения оси гироскопа обусловливает возникновение момента сил
Кориолиса, который равен моменту внешних сил, действующих на гироскоп, но
направлен противоположно и их уравновешивает.
ЗАДАЧИ
К главе 2
2.1. Радиусы-векторы трех последовательных вершин правильного
шестиугольника равны ly = 0, г2, г^. Найдите радиусы-векторы остальных
вершин.
2.2. Найдите углы между ненулевыми векторами А и В в случаях:
а) ЗА + 5В = 0;
б) | А| = t В i = i А + В |;
в) А- (Ах В) = 0, | В | = 2 1A j;
г) (А х В) х А = В х (В х А).
2.3. Точки Л, В, С лежат на поверхности сферы единичного радиуса с
центром в точке О. Углы ВОС, СОЛ и ЛОВ обозначены соответственно а, р, у.
Найдите угол между плоскостями ОАВ и ОАС.
2.4. Пусть г(t) - радиус-вектор движущейся точки, г0 = г/г. Докажите, что
г0 = (г х г) х г/г3.
2.5. Камень должен перелететь через два забора высотами /it и h2> ht со
стороны забора меньшей высоты. Расстояние между верхними точками заборов,
вблизи которых проходит траектория камня, равно I. Найдите минимальную
начальную скорость камня.
2.6. Стержень длиной I скользит своими концами по направляющим,
составляющим между собой прямой угол. Какую кривую описывает точка
стержня, находящаяся на расстоянии al (а < 1) от одного из его концов?
2.7. С поверхности земли бросают с минимально допустимой скоростью камень
через препятствие высотой h, находящееся на расстоянии I от точки броска.
На каком расстоянии от препятствия камень упадет на землю после перелета
через него?
2.8. Снаряд выпускают со скоростью и по цели, лежащей в той же
горизонтальной плоскости, что и пушка. При наводке допущены ошибки,
составляющие е радиан в угле наклона ствола и 2е радиан в направлении на
цель в горизонтальной плоскости. На каком расстоянии от цели упадет
снаряд?
2.9. От колеса радиусом а у автомобиля, движущегося со скоростью и,
отскакивают комки грязи (и2 > ga). Найдите максимальную высоту, на
которую они забрасываются.
ЗАДАЧИ
417
2.10. Камень бросают с поверхности земли со скоростью и под углом а к
поверхности. Приняв точку броска за начало полярной системы координат (г,
0), где г - расстояние от 0 до камня, 0 - угол между поверхностью земли и
радиусом-вектором камня, найдите уравнение траектории камня.
2.11. Стержень длиной / скользит своими концами по направляющим,
составляющим между собой прямой угол. В некоторый момент времени скорость
одного из концов стержня равна и, а угол между стержнем и направляющей,
по которой скользит другой конец стержня, равен 0. На каком расстоянии от
первого конца стержня находится точка, движущаяся с минимальной
скоростью, и чему равна эта скорость?
2.12. В пространстве между коаксиальными круглыми цилиндрами радиусами и
г2 (г2 > гД помещен цилиндр радиусом (г2 - гх)/2. Внутренний и внешний
цилиндры вращаются вокруг их оси с угловыми скоростями cot и со2.
Предполагая, что между соприкасающимися поверхностями цичиндра радиусом
(г2 - гх)/2 и коаксиальных цилиндров нет проскальзывания, найдите угловую
скорость вращения цилиндра радиусом (г2 - гД/2 вокруг его оси и угловую
скорость вращения точек его
оси вокруг оси коаксиальных цилиндров.
2.13. Твердое тело, одна из точек которого закреплена в начале декартовой
системы координат, последовательными вращениями вокруг оси X на угол тс/2
и вокруг оси Y на угол тс/2 приведено в новое положение. Как надо
направить ось вращения и на какой угол повернуть тело вокруг этой оси,
чтобы осуществить такой же перевод тела в новое положение одним
вращением?
2.14. Твердое тело поворачивается на угол ср вокруг оси, проходящей через
начало координат. Единичный вектор п направлен по оси вращения.
Направления вращения и вектора п связаны правилом правого винта. Найдите
