Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
колеблются в одной
152.
К расчету отклонений при колебаниях связанных систем
62. Колебания связанных систем
389
и той же плоскости, совпадающей с вертикальной плоскостью, проходящей
через точки подвеса и положение равновесия материальных точек
математических маятников (рис. 152). При малых колебаниях можно
пренебречь вертикальными смещениями точек и рассматривать их движение
вдоль одной прямой. Положение колеблющихся точек характеризуется их
смещениями хх и х2 от своих положений равновесия, обозначенных буквами Ох
и 02. Когда точки находятся одновременно в положениях равновесия,
соединяющая их пружина недеформирована и не действует на точки с какими-
либо силами.
Обозначим частоту нормального колебания маятников, когда они колеблются
синхронно (в одной и той же фазе), через со2, а когда в противофазе -
через со2. Ясно, что со2 > щ. Общее колебание системы является
суперпозицией двух нормальных колебаний. В соответствии со сказанным выше
о способе разложения произвольного движения связанных маятников можем
написать:
х1 - А sin ((c)!* + фх) + В sin {щ1 + ср2), х2 - A sin (со4 + фг) - В sin
(щ1 -|- ср2).
Четыре неизвестные постоянные А, В, срх и ср2 определяются из начальных
условий, выражающих значения отклонений х10, х20 и скоростей х10, х20 в
начальный момент времени, например t = 0:
х10 = A sin -j- В sin ф2, х2о = A sin ц>г - В sin ф2;
х10 = Лео cos фх 4~ В(о cos ф2, х20 = Лео cos фх - Вы cos ф2. (62.2)
Найдя из уравнений (62.2) величины А, В, (pt и ф2, мы полностью опишем
движение с помощью формул (62.1).
Теперь решим ту же задачу, применяя непосредственно динамические законы
движения. Запишем уравнения движения заданных математических маятников,
считая их длину I одинаковой:
at = - (g/l)alt a2 = - (g/l) a2, (62.3)
где ax и a2 - углы отклонения каждого из заданных маятников от
вертикалей. Отклонения от положения равновесия связаны с углами аг и а2
очевидными соотношениями (рис. 152): хг - аг1, х2 = а21. Поэтому
уравнения движения материальных точек без учета их связи пружиной имеют
вид:
x1 = - {gJl)x 1, х2 = - (g/l)xt. (62.4)
При деформации пружины возникают силы, пропорциональные удлинению (закона
Гука). Удлинение пружины есть х2 - хх и потому силы, действующие на
материальные точки, равны
= - F2 = к (х2 - х4,
(62.5)
390
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
где к - коэффициент пропорциональности. Поэтому уравнения движения точек
с учетом сил связи посредством пружины имеют вид:
x1 = -(g/l)x1~\-(k/m)(x2 - x1), х2 = - (g/l) х2 -(к/т) (х2 -xt), (62.6)
где т - одинаковая масса материальных точек. Проще всего эти два
связанных уравнения решить следующим образом. Складывая их левые и правые
части, а затем вычитая, получим:
хх + х2 = - (g/l) (хх + х2),
х1 - х2 = - (g/l) (хг - х2) - (2к/т) (хх - х2).
Таким образом, уравнение для суммы и разности отклонений маятников имеет
вид уравнений свободных гармонических колебаний:
(xi + x2)-- + cof (xi + x2) = 0, (xj -х2)- + col (Xj - х2) = 0,
(62.7)
где
"1 = У (g/l), 0)2 = 1/ {g/l) Л- (2/c/m). (62.7а)
Решение этих уравнений хорошо известно:
^i +x2 = ^0sin (%* +Фх), Xj - x2 = 50sin (о)2^ + ф2). (62.8)
Отсюда для отклонений хх и х2 путем сложения и вычитания левых и правых
частей получаем:
= (1/2)Л0 sin ((c)!" + фО + (1/2)В0 sin (со2/ + ф2), хъ = (1/2)Л0 sin (coji
+ coj) - (1/2)Z?0 sin (a2t + ф2).
Эти формулы, как и следовало ожидать, совпадают с формулами
(62.1), если положить А = AJ2, В = В0/2. Поэтому величины а)х и со2,
определенные формулами (62.7а), являются нормальными частотами колебаний
рассматриваемой связанной системы с двумя степенями свободы.
НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Глава 14
63. Силы инерции
64. Неинерциальные системы, движущиеся прямолинейнопоступательно
65. Невесомость. Принцип эквивалентности
66. Неинерциальные вращающиеся системы координат
67. Гироскопические силы
Внеинерциальных системах отсчета существуют силы инерции. Они реальны и
имеют многообразные проявления и важные практические применения. Однако
использование понятия сил инерции при анализе движений в инерциальных
системах отсчета является ошибочным, так как в них эти силы отсутствуют.
63. Силы инерции
Определение неинерциальных систем.
Неинерциальной системой отсчета называется система, движущаяся ускоренно
относительно инерциальной. Система отсчета связана с телом отсчета,
которое, по определению, принимается за абсолютно твердое. Ускоренное
движение твердого тела включает в себя ускорение как поступательного
движения, так и вращения. Поэтому простейшими неинерциаль-ными системами
отсчета являются системы, движущиеся ускоренно прямолинейно, и
вращающиеся системы.
Время и пространство в неинерциальных системах отсчета. Чтобы описать
движение в некоторой системе отсчета, необходимо разъяснить содержание
высказывания о том, что такие-то события произошли в таких-то точках в
такие-то моменты времени. Для этого прежде всего надо, чтобы в системе
отсчета существовало единое время в том смысле, как это было изложено в §
