Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
возможность обмена энергией. В качестве примера рассмотрим два маятника,
соединенных между собой пружиной, осуществляющей эту связь (рис. 150).
Эта система может колебаться в вертикальной плоскости, в которой в
состоянии равновесия находятся маятники и пружина, также в
перпендикулярных этой плоскости направлениях. Всего имеются четыре
степени свободы, связанные между собой. Если один из маятников вывести из
положения равновесия, отклонив его одновременно и в плоскости маятников,
и в перпендикулярном этой плоскости направлении, то после начала
колебания начнет раскачиваться второй маятник по своим степеням свободы.
Колебания маятников изменяются по амплитудам. В целом наблюдается
довольно сложная картина движения маятников и передачи энергии от одного
маятника к другому.
Нормальные колебания. Несмотря на сложность движения двух связанных
маятников, оно всегда может быть представлено как суперпозиция четырех
гармонических колебаний, частоты которых называются нормальными частотами
связанной системы. Число нормальных частот равно числу степеней свободы.
В данном случае имеем четыре нормальных частоты. Рассмотрим, чем они
определяются и как могут быть найдены.
Прежде всего опишем колебания маятников в вертикальной плоскости,
перпендикулярной линии, соединяющей их точки подвеса. Каждый из маятников
в этой плоскости может занимать некоторое положение. Состояние системы
характеризуется положением обоих маятников. Рассмотрим простейшие
состояния системы: 1) оба маятника отклонены от положения равновесия в
одну и ту же сторону на один и тот же угол, 2) маятники отклонены
62. Колебания связанных систем
387
в разные стороны на один и тот же угол. Эти простейшие отклонения
называются нормальными. Любое возможное отклонение маятников может быть
представлено в виде суммы их одинаковых отклонений в одну сторону и
разные стороны, или, иначе, любое состояние системы в указанном выше
смысле является суперпозицией состояний (1) и (2). Доказательство этого
утверждения легко выполнить с помощью графика на рис. 151. Пунктиром
указана средняя линия равновесия. Величины а и Ъ означают отклонения
маятников от положения равновесия {Ь > а). После знака равенства
изображены те комбинации отклонений 1 и 2, которые в сумме дают исходные
отклонения маятников.
Если маятники отклонить одинаково в одну сторону и отпустить, то они
колеблются с некоторой частотой оа1, которая называется нормальной.
Частота колебаний маятников, отклоненных одинаково в противоположных
направлениях, является другой нормальной частотой со2. Произвольное
колебание двух маятников в указанных направлениях в соответствии с
разложением, изображенным на рис. 151, может быть представлено в виде
суммы двух гармонических колебаний с нормальными частотами.
Аналогичным образом рассматриваются колебания маятников в вертикальной
плоскости, проходящей через линию, сое-единяющую их точки подвеса.
Нормальными колебаниями здесь являются колебания маятников, отклоняющихся
на один угол в одну сторону и в разные стороны. Все рассуждения здесь
аналогичны предшествующему случаю. Следовательно, колебания двух
связанных маятников в этом направлении также могут быть представлены в
виде суммы двух колебаний с нормальными частотами, равными частотам
соответствующих нормальных колебаний.
Полное движение двух маятников с четырьмя степенями свободы являются
т
-F
151.
Представление произволь-го отклонения двух маятников в виде суммы двух
нормальных отклонений
Какая особенность системы со многими степенями свободы делает ее
связанной системой!
Что такое нормальные колебания связанной системы!
388
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
Сколько нормальных колебаний имеет связанная система!
Как с помощью нормальных колебаний представляется произвольное колебание
связанной системы!
суперпозицией четырех нормальных колебаний с соответствующими нормальными
частотами. В данном случае не все из этих нормальных частот различны, но
это ни в какой степени не изменяет существа дела.
Таким образом, задача исследования связанных систем сводится к нахождению
их нормальных колебаний и нормальных частот. Иногда простые соображения
позволяют указать нормальные колебания, как это было в только что
рассмотренном случае. Две из нормальных частот являются просто частотой
собственных колебаний маятника (с учетом или без учета массы пружины и
высоты ее подвеса), а две другие - частотами колебаний маятников при
наличии дополнительной силы упругости со стороны пружины при симметричных
отклонениях маятников от положения равновесия в противоположных
направлениях.
В большинстве же случаев задача оказывается значительно сложнее.
Существуют общие методы нахождения нормальных частот, на изложении
которых мы здесь не имеем возможности остановиться.
Колебания связанных систем. Теперь выполним подробно математическое
описание колебаний связанных систем на примере связанных маятников,
ограничиваясь случаем двух степеней свободы. Будем считать, что маятники
