Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
действием сил, состоит в том, что вектор момента импульса N примерно
совпадает с вектором угловой скорости о, направленным примерно вдоль
центральной главной оси гироскопа, вокруг которой происходит вращение.
Строго говоря, эти три вектора не совпадают. Однако отклонения от
совпадения очень малы и ими будем пренебрегать. Поэтому будем считать,
что вектор N = /<о всегда совпадает с центральной главной осью гироскопа.
Такое совпадение обеспечивается гироскопическими силами. Их природа будет
выяснена в гл. 14. Здесь же заметим лишь, что они обусловлены так
называемыми кориолисовыми силами.
К гироскопу удобно применить уравнение моментов
dN/<fc = M, (52.11)
поскольку изменение N описывает непосредственно движение его оси. Зная М,
52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы
325
115.
Прецессия гироскопа
Ось быстрого "ращения гироскопа, вектор угловой скорости <0 и момент
импульса N считаем совпадающими
всегда можно определить направление движения оси по соотношению dN = Мdt.
На рис. 115 ось гироскопа расположена горизонтально, а сила F создает
момент М = IF, перпендикулярный плоскости чертежа. Если бы гироскоп не
находился в быстром вращении, то под действием силы F его ось должна была
бы наклониться вправо. Но наличие вращения полностью изменяет результат
действия силы. Поскольку dN = Мdt, конец оси начнет двигаться в
горизонтальной плоскости. Если при этом F сохраняет постоянное значение
(например, если F создается грузом, подвешенным к гироскопу на некотором
расстоянии от точки опоры), то движение конца происходит с постоянной
угловой скоростью Q. Ось гироскопа вращается вокруг вертикальной оси,
проходящей через точку опоры гироскопа, с угловой скоростью прецессии. В
результате прецессии полная скорость вращения (c) -f- Q не совпадает с осью
гироскопа. Однако, ввиду того что (о ?2, это несовпадение незначительно,
и по-прежнему, несмотря на наличие прецессии, можно считать, что угловая
скорость быстрого вращения все время совпадает с осью гироскопа и с
моментом импульса N.
116.
Вектор N изменяется лишь по направлению, его абсолютное значение
сохраняется
326
Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
I
Период гироскопичес-ного маятнина характеризует способность его оси
вращения сохранять неизменное направление в пространстве при действии на
него момента внешних сил.
Угловая скорость вращения легко может быть вычислена. На рис. 116
изображен ход прецессии гироскопа в горизонтальной плоскости. Точка О
есть след оси прецессии. Очевидно, что dN = = Mdt = Ndq>. Отсюда согласно
определению находим угловую скорость:
(52.12)
Характерной особенностью прецессии является то, что она не имеет
"инерции" - прецессионное движение прекращается в момент прекращения
действия момента сил, как это видно непосредственно из (52.11). Поэтому
ее поведение аналогично не скорости, а ускорению, потому что ускорение
прекращается одновременно с прекращением действия силы.
Гироскопический маятник. Рассмотрим случай, когда ось гироскопа
закреплена в одной точке и подвешена за нить на ее конце (рис. 117; ср. с
рис. 115). Кроме
' того, в этом случае ось расположена
Гироскопический маятник не горизонтально, а под углом сс к вер-
52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы
327
тикали. Непосредственно видно, что М = mgl sin a, dN - = N sin acZ<p =
mgl sin adtin, следовательно, ?2 = (dyldt) - (mgl/N). Таким образом,
угловая скорость не зависит от угла наклона оси гироскопа к вертикали.
Это связано с тем, что при изменении угла изменяются одновременно момент
силы и расстояние в горизонтальной плоскости от оси вращения до конца
вектора N. Независимость скорости прецессии такого гироскопа от угла
наклона его оси дало повод назвать его гироскопическим маятником. Период
обращения этого маятника Т = 2я/й = 2nloa/mgl при достаточно больших
значениях момента инерции I и угловой скорости вращения о" и малой
величине I может быть очень большим и составлять минуты и даже часы.
Математический маятник с таким большим периодом имел бы громадную длину.
Длина математического маятника, период колебаний которого равен периоду
прецессии гироскопического маятника, называется приведенной длиной
гироскопического маятника. Поскольку период математического маятника с
длиной Z0 равен Т - 2л ]/l0/g, приведенная длина рассмотренного
гироскопического маятника равна Z0 = g (loa/mgl), т. е. при достаточно
больших 1(0 и малых Z может быть действительно очень большой.
Яйцеобразный волчок. Если волчок опирается на подставку очень острым
концом, то его ось прецессирует, двигаясь по поверхности конуса, как это
было только что рассмотрено. Это гироскопический маятник, но точка его
опоры находится ниже центра массы.
Если же волчок опирается на достаточно широкий конец, так что нельзя
считать, что он соприкасается с поверхностью в одной точке на оси
вращения, явление значительно усложняется. Если волчок имеет яйцеобразную
