Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
момента инерции. Вращение вонруг главной центральной оси со средним
моментом неустойчиво.
только относительно центральной главной оси с максимальным или
минимальным моментом инерции. Вращение вокруг центральной главной оси со
средним моментом инерции неустойчиво. При небольшом случайном отклонении
оси вращения от этого направления возникают силы, увеличивающие
отклонение. Это обстоятельство можно наглядно продемонстрировать на таком
опыте. У тела в виде прямоугольного параллелепипеда центральными главными
осями являются три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его
геометрический центр параллельно сторонам. Параллелепипед имеет
наибольшие и наименьшие моменты инерции относительно осей, параллельных
его самой длинной и самой короткой сторонам. Если его подбросить с
одновременным вращением вокруг одной из этих осей, то движение происходит
устойчиво с сохранением направления оси вращения. Если же его вращать
вокруг оси, параллельной средней стороне, то устойчивого движения не
получается и тело начинает беспорядочно кувыркаться.
Чтобы наглядно представить, почему свободные оси должны совпадать с
центральными главными осями, возьмем тело в виде гантели. Проведем ось
вращения в направлении, не совпадающем ни с одним из центральных главных
направлений, например таком, которое указано на рис. 112.
Вопрос о силах инерции в неинерциаль-ных системах координат подробно
рассмотрен в гл. 14. Здесь нам достаточно отметить лишь хорошо известный
факт существования центробежных сил инерции. Ясно, что при вращении
продольная ось тела под действием этих сил стремится изменить свое
направление в пространстве и занять положение, показанное на рис. 112
пунктиром. В этом положении вращение является устойчивым, и (а совпадает
с направлением центральной главной оси, относительно которой
52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы
321
113.
К объяснению нутации
Ось крещения, аектор углоаой скорости U) и аектор N полного момента
импульсе лежат а одной плоскости, аращающейся со ско-росткю нутации
аокруг последнего
тело обладает максимальным моментом инерции.
Нутация. Представим себе тело, которое обладает аксиальной симметрией
относительно некоторой оси, т. е. является телом вращения (рис. 113).
Ясно, что одна из центральных главных осей совпадает с осью симметрии, а
две другие перпендикулярны ей. Ось х направим вдоль оси симметрии, а осй
у и z - вдоль двух других центральных главных осей. Из условий симметрии
следует, что 1Х = /1} 1у = 1г = /2. Уравнения
(52.6) имеют вид:
I
При вращении вонруг свободных осей не воз-пинает сил, стремящихся
изменить направление оси вращения или сместить ее параллельно самой себе
в теле.
г d<*x /)
/.^Г+(Л -"">.".=О,
(52.7)
Прежде всего из этих уравнений видно, что возможно движение, при котором
шх = o>i = const, ау = сэ2 = 0, т. е. вращение вокруг оси симметрии тела
с постоянной скоростью. Однако это не единственная возможность. Запишем
второе и третье уравнения при условии <ох = = (Dj = const в следующем
виде:
do)y/d* + Y(oz = 0, dbijdt - у<йу - О,
(52.8)
I
Нутацией называется движение оси вонруг вектора полного момента импульса.
I1 Механика и теория относительности
322
Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
где y = (/i - /2) Mi/h- Эти уравнения имеют решение: (Dj, = A cos yt, (oz
= .<4 sin у*.
(52.9)
Вектор угловой скорости о)х = k(oz, лежащий в плоскости (у, z), вращается
вокруг начала с круговой частотой у. Полная угловая скорость
Этот суммарный вектор движется вокруг оси х по поверхности конуса с углом
а при вершине (tg а = (Ох/сох), т. е. угловая скорость вращения тела не
совпадает с осью симметрии тела - осью х. Ось симметрии в свою очередь не
остается неподвижной в пространстве. Она движется по поверхности конуса,
ось которого неподвижна в пространстве, и совпадает с вектором полного
момента импульса N, причем угловая скорость этого движения также равна у.
Следовательно, полное движение таково: плоскость, в которой лежат векторы
мгновенной скорости <о и ось симметрии, вращается с угловой скоростью у
вокруг вектора N, причем относительное положение вектора <а и оси
симметрии при этом не меняется. Это движение оси симметрии тела вокруг
неподвижного в пространстве вектора полного момента импульса N называется
нутацией, у - скоростью нутации. При таком движении вектор <а вращается
вокруг оси симметрии с той же скоростью у, как это было описано выше.
Амплитуда нутации зависит от причин (начальных условий), которые ее
вызвали. Но частота ее определяется только моментами инерции и угловой
скоростью вращения вокруг оси симметрии. Тело может вращаться и без
нутадии, если его угловая скорость направлена строго по оси симметрии.
К телам вращения относится также шар. У него 1Х = 1У - 12 и поэтому у =
0. Это означает, что у шара ось вращения всегда в отсутствие внешних сил
сохраняет фиксированное положение относительно тела и никакой нутации
быть не может. Это обусловлено тем, что любая ось, проведенная через
