Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
соа являются компонентами мгновенной угловой скорости тела относительно
осей координат.
Если оси движущейся системы координат направить вдоль главных осей
инерции тела, в тензоре инерции останутся лишь диагональные компоненты,
т. е.
При таком выборе осей координат, жестко связанных с телом, выражение
(50.13) для кинетической энергии упрощается:
Если мгновенная скорость вращения совпадает с направлением одной из
главных осей, которой может быть, например, ось х движущейся системы, то,
очевидно, щ = со3 = 0 и формула (50.15) примет более простой вид:
([А, В], 1C, D]) = (A, С) (В, D) - (A, D) (В, С),
можем написать
[ю, ri]2 = coV? - (г\, (д)2.
(50.11)
W = 1/21дрсодсор.
(50.13)
(50.14)
W = Vs (Лю* + 12Ю-2 + 13щ) = Vs /"Юа.
(50.15)
W = l/2Il(ol
(50.16)
Вообще говоря, при произвольном движении тела вектор угловой скорости о
меняет свое направление и совпадает с направлением
310
Глава 11. ДЖАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
одной пз главных осей лишь в течение мгновения. Именно для него и
справедлива эта формула. В следующее мгновение угловая скорость уже не
будет совпадать с главной осью, и выражение для кинетической энергии
снова приобретает вид (50.15). Формула (50.16) справедлива в течение
времени, когда вектор угловой скорости совпадает с направлением главной
оси. Например, если цилиндр вращается вокруг своей оси, которая
неподвижна в пространстве, то ясно, что угловая скорость все время
совпадает с направлением главной оси и поэтому формула (50.16)
справедлива во все время вращения, а в качестве /, берется выражение
(49.11).
В том случае, если наряду с вращением тело имеет также и поступательную
скорость v0, скорость его точек определяется по формуле (48.3). Выражение
для кинетической энергии усложняется. Подставляя (48.3) в формулу для
кинетической энергии, получаем
Первое слагаемое представляет кинетическую энергию поступательного
движения тела как целого со скоростью v0, второе - кинетическую энергию
вращения, которая только что была рассмотрена, а третье учитывает
соотношение поступательной скорости и вращательной. Если начало
движущейся системы координат поместить в центр масс тела, то Smjr,' = 0
и, следовательно, последний член обратится в нуль. При таком выборе
системы координат скорость v0 является скоростью центра масс тела, а
формула для кинетической энергии примет следующий вид:
Все замечания, которые были сделаны относительно (50.13), справедливы и
для соответствующей величины в формуле (50.18). В Частности, если оси
движущейся системы направлены вдоль главных осей тела, то кинетическая
энергия
Поэтому, например, кинетическая энергия цилиндра, катящегося со скоростью
н0, равной <о/?0, будет
И7 = 1/2 = 1/22mi(v°+fa>' ГП)2 =
= 1/2(2/П0У" + Г^2 + V22mi,2(v0, f(r), !••]). (50.17)
W = 4tmvl + V*/ap(r)o(r)p-
(50.18)
W - "Ь */2 Ф ^2Щ 4~ 1зщ)-
(50.18а)
(50.19)
51. Плоское движение. Маятники
311
51. Плоское движение. Маятники
Особенности динамики плоского движения. Из кинематики плоского движения,
изложенной в § 10, известно, что в этом случае все точки твердого тела
движутся в параллельных плоскостях. Поэтому достаточно рассмотреть
движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Формула (48.3) для
точек тела значительно упрощается, поскольку вектор угловой скорости
всегда перпендикулярен плоскости и, следовательно, имеет постоянное
направление. Поэтому если ось т! системы координат, связанной с телом,
провести перпендикулярно плоскости движения, то угловая скорость вращения
всегда будет направлена вдоль этой оси, т. е. g>z = 0), и>х = и>у - 0.
Для того чтобы избежать учета центробежных моментов тензора инерции,
целесообразно ось вращения провести через центр масс. Тогда необходимо
принять во внимание лишь момент инерции относительно оси вращения:
Nt = N - Izz<nz - /со,
I2Z = I, (02=(0. (61.1)
Индексы z у величин нет необходимости ставить, поскольку ось z -
единственная ось вращения. Силы, действующие на тело, параллельны
плоскости (х, у), а моменты сил Мг перпендикулярны ей. Таким образом,
уравнения движения (48.1) и (48.2) для плоского движения приобретают
следующий вид!
dp/cft = F, (51.2)
I (da>/dt) = М, (51.3)
где М - Мг, р - импульс.
Поскольку ось проходит через центр масс тела, уравнение (51.2) можно
представить в виде (48.4) для движения центра масс в плоскости движения:
m(dy/dt) - F. (51.4)
Для координат (х, у) центра масс это уравнение имеет следующий вид:
mx = Fx, my - Fy. (51.5)
Кинетическая энергия в этом случае выражается формулой (50.18а):
W = 1/2mul + 1/2/(о2. (51.6)
Скатывание цилиндра с наклонной плоскости. Будем считать, что скатывание
происходит без скольжения. Силы, действующие на цилиндр, указаны на рис.
109. Сила Т есть сила трения, которая обеспечивает скатывание цилиндра
без скольжения. Ось х удобно направить вдоль наклонной плоскости. Напишем
уравнение движения для точки О, через которую проходит центральная
главная ось
312
Глава 11. ДЖАМИКА ТВЕРДОГО ТЕПА
