Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
удар шаров). Затем энергия упругой деформации снова превращается в
кинетическую, однако не полностью - часть энергии превращается во
внутреннюю, шары при этом нагреваются. Далее необходимо принять во
внимание, что поверхности шаров не являются абсолютно гладкими и между
ними возникают силы трения. Эти силы, с одной стороны, также приводят к
превращению части энергии во внутреннюю, а с другой - вызывают
определенное изменение во вращении шаров. Таким образом, даже в
простейшем случае картина столкновения оказывается чрезвычайно сложной.
Однако главный интерес при рассмотрении столкновения заключается в знании
не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется
начальным состоянием, а после - конечным. Между величинами,
характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются вполне
определенные соотношения, независимые от детального характера
взаимодействия. Наличие этих соотношений обусловливается тем, что
совокупность частиц, участвующих в столкновении, составляет изолированную
систему, для которой справедливы законы сохранения энергии, импульса и
момента импульса (см. гл. 6). Следовательно, соотношения между
величинами, характеризующими начальное и конечное состояния частицы,
выражаются законами сохранения энергии, импульса и момента импульса при
столкновении.
Законы сохранения сами по себе не дают возможности определить что
произойдет при столкновении. Но если известно, что произойдет, они
значительно облегчают анализ того, как это произойдет.
Закон сохранения импульса. Импульсы различных частиц до столкновения
обозначим через pj (i = 1, 2, ..., п), а после - через pj (/ = 1, 2, ...,
к). Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, можем написать:
(42.1)
Ясно, что как число частиц, так и сорт частиц до и после столкновения
могут быть различными. Этот закон справедлив в релятивистском и
нерелятивистском случаях.
274
Глава 9. СТОЛКНОВЕНИЙ
Закон сохранения энергии. Применение этого закона более сложно, чем
закона сохранения импульса. Дело в том, что закон сохранения энергии был
сформулирован (см. гл. 6) лишь применительно к формам энергии,
рассматриваемым в механике. Поэтому в нерелятивистском случае надо учесть
лишь кинетическую и потенциальную энергию, а в релятивистском случае -
также и энергию покоя. Однако имеются и другие формы энергии, которые
надо принять во внимание. Например, при столкновении бильярдных шаров,
строго говоря, происходит их небольшое нагревание. Поэтому сумма
кинетических энергий шаров до и после столкновения не одна и та же, т. е.
кинетическая энергия при столкновении не сохраняется. Часть ее
превращается во внутреннюю, связанную с теплом и локализованную внутри
шара. Имеются и другие виды внутренней энергии. Взаимная потенциальная
энергия частиц, составляющих шар, их энергия покоя также относятся к
внутренней энергии. Поэтому, чтобы применить закон сохранения энергии,
надо учесть внутреннюю энергию материальных тел или частиц, участвующих в
столкновении. Однако потенциальную энергию взаимодействия между
сталкивающимися частицами учитывать не надо, потому что и в начальном, и
в конечном состоянии они считаются невзаимодействующими. Обозначив
внутреннюю энергию частиц как Евн, а кинетическую энергию поступательного
движения тела как И^кин" закон сохранения энергии при столкновении можем
записать в виде
п к
Заметим, что кинетическую энергию вращательного движения удобнее относить
к внутренней энергии.
В релятивистском случае вид уравнений (42.2) значительно проще. Дело в
том, что релятивистская полная энергия тела, выражаемая формулой (28.10),
включает в себя как кинетическую энергию, так и энергию покоя, в которую
входят все формы внутренней энергии. Например, если при столкновении
бильярдный шар йагреется, то это приведет к увеличению массы покоя и
будет автоматически учтено соответствующим изменением его полной энергии.
Поэтому в релятивистском случае уравнение (42.2) записывается так:
п h
(42.2)
(42.3)
J
где
Ei = m0ic?/y 1 - v\lc2
(42.3а)
42. Характеристика процессов столкновения
275
есть полная энергия г-й частицы, масса покоя которой moi. С учетом
(42.3а) равенство (42.3) представим в виде
(42.4)
Закон сохранения момента импульса. При применении закона сохранения
момента импульса надо учитывать, что тела и частицы могут обладать
внутренним моментом импульса. У тел он обусловлен вращением. Микрочастицы
также имеют внутренний момент импульса, называемый спином. Например,
спином обладают электрон, протон и многие другие элементарные частицы.
Объяснить наличие спина вращением элементарных частиц нельзя, как это
было уже рассмотрено раньше. При столкновениях он должен быть учтен как
внутренний момент импульса частицы. Поэтому, если через Mj обозначить
моменты импульса частиц, участвующих в столкновении, а через Мвн г их
внутренние моменты, закон сохранения импульса при столкновении можно
представить следующим образом:
