Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Направим ось X системы координат вдоль оси цилиндра, поршень и стенки
которого адиабатические. Это означает, что удары молекул о стенки и
поршень абсолютно упругие. Пусть поршень движется с исчезающе малой
скоростью и, изменяя тем самым объем, в котором содержится газ. При ударе
о движущийся поршень кинетическая энергия молекул не сохраняется, она
либо увеличивается, либо уменьшается. Ясно, что о поршень ударяются лишь
те молекулы, которые движутся в направлении к поршню. Если объем
увеличивается, то молекулы догоняют поршень, а если уменьшается, то они
движутся навстречу поршню. Столкновение с поршнем происходит так, как
если бы он имел бесконечную массу. Из законов сохранения энергии и
импульса при столкновении получаем, что абсолютное значение х-й
компоненты скорости частицы в результате столкновения изменяется на 2и,
увеличиваясь при сжатии газа и уменьшаясь при расширении.
Поэтому кинетическая энергия молекулы в результате столкновения
изменяется на величину
где отброшен член порядка и2.
Будем для определенности считать, что поршень движется в направлении
положительных значений оси X и объем при этом увеличивается. Тогда с
учетом знаков можно написать
где гх(+) означает, что имеются в виду только те молекулы, которые
движутся в направлении положительных значений оси X и, догоняя поршень,
сталкиваются
(18.11)
AW- (iт/2)(| vx | ± 2и)2 - mv2/2 ~ ±2m\vx\u,
(18.12)
A w= -2 mv(+)u,
(18.13)
§ 18. Процессы в идеальных газах 145
с ним. При столкновении молекулы с поршнем меняется лишь х-я составляющая
скорости, а остальные составляющие не изменяются. Поэтому и кинетическая
энергия молекулы изменяется лишь вследствие изменения х-й составляющей
скорости.
В соответствии с (8.31) число молекул, сталкивающихся в течение времени
dt с поршнем площади S со скоростью, заключенной между v и v + dv,
dn = {n/V)f(v)dvv]c+)Sdt,
где / (г) - распределение Максвелла. Поэтому изменение кинетической
энергии молекул, находящихся в цилиндре, с учетом (18.13) задается
выражением
dU - - 2mr]+)tt dn = -2т (n/V) Su dt f (v)(v(+))2 dr.
Учтем, что Su dt - S dx = dV - изменение объема цилиндра за счет движения
поршня. Поэтому полное изменение внутренней энергии газа в цилиндре при
адиабатическом увеличении его объема
dU = -2m{n/V)dV$ f(v)(v(+))2 dv, (18.14)
где интеграл [см. 10.2)] распространяется лишь на молекулы, х-я
компонента скорости которых положительна. С учетом (10.2) выражение
(18.14) принимает вид
Для газа с i степенями свободы U = nikT/2. Тогда уравнение (18.5)
преобразуется:
Учитывая, что (i/2)dT/T= d(ln Ti/2), dV/V= din К находим d In (Til2V) =
0.
Следовательно, уравнение адиабаты Til2 V = const.
После возведения в степень 2/i оно принимает более привычную форму TV2li
= TV'-1 = const, (18.17)
поскольку у = (i + 2)/i = 1 + 2/i. Этот пример иллюстрирует получение
термодинамических соотношений методами кинетической теории.
Политропический процесс. Все рассмотренные процессы обладают одной общей
особенностью - они происходят при постоянной теплоемкости. Это
непосредственно видно после записи условий процесса в математической
форме. При изохориче-ском и изобарическом процессах теплоемкости равны
соответственно Су и Ср, при изотермическом процессе (dT= 0) теплоемкость
равна ±оо, а при адиабатическом (6(2 = 0) теплоемкость равна 0. Процесс,
в котором теплоемкость является постоянной величиной, называется
политропическим. Изобарический, изохорический, изотермический и
адиабатический процессы являются частными случаями политропического
процесса.
Уравнение политропы. Из требования, чтобы теплоемкость С была постоянной
в процессе, следует, что первое начало термодинамики должно иметь вид
dU = ~{n/V)dVkT.
(18.15)
(/ 2)dT/T = -dV/V
(18.16)
CdT=CFdT+pdV
(18.18)
10 A. H. Матвеев - 1488
146 2. Термодинамический метод
Поступая с уравнением (18.18) точно так же, как с (18.5), для получения
уравнения (18.7), находим
- + Ср - с' -=0. (18.19)
Т Су-С V
Интегрируя (18.19), получаем TV"'1 = const, (18.20)
где (Ср - CV)/[CV - С) = и - 1.
Это уравнение политропы в переменных Г, V. Исключая из него Т с помощью
равенства T=pV/R, находим
pVn = const, (18.21)
где п = (С - СР)/(С - Су) - показатель политропы.
Очевидно, что при С = 0, и = у из (18.21) получается уравнение адиабаты,
при С = оо, п - 1 - уравнение изотермы, при С = Ср, и = 0 - уравнение
изобары, при С = Су, и = + оо - уравнение изохоры.
Пример 18.1. Происходит адиабатическое расширение гелия, имевшего
первоначальную температуру Т0 = 400 К и объем V0 = 10 л, при этом
давление падает от р0 = 5 • 106 до р = 2 • 105 Па. Найти объем и
температуру гелия в конечном состоянии.
При адиабатическом расширении имеем рУу = р0п,
где у = Cp/Cv = 5/3 = 1,66 для гелия. Отсюда находим конечный объем к=
(Po/p)lllV0 = (25)0,6 • 10 л = 69 л.
Записав уравнение идеального газа для начального и конечного состояний,
найдем p0V0 = vRT0, vRT.
Разделив почленно левые и правые части этих уравнений, получим
