Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
макроскопического состояния. Это число не является вероятностью в
математическом смысле, поскольку она всегда или равна или меньше единицы,
число же Га очень большое. Тем не менее оно получило название вероятности
(термодинамической), поскольку с его помощью по формуле (5.1) находится
вероятность соответствующего макросостояния.
Задачей теории является определение числа состояний, входящих в формулу
(5.1). Конечно, прямой подсчет числа состояний возможен лишь в редких
случаях. Поэтому задача теории в большинстве случаев заключается в том,
чтобы найти число состояний, не пересчитывая их, или даже найти сразу
вероятность 9а, не зная числа состояний. Различные приемы, с помощью
которых это достигается, будут рассмотрены в последующем. В случае
идеального газа сравнительно легко осуществить прямой подсчет числа
микросостояний по пространственным переменным. Отметим, что пренебрежение
состояниями, которые обусловлены распределением частиц по импульсам, не
есть ограничение на справедливость анализа пространственного
распределения частиц. Очевидно, что распределения частиц по координатам
(пространственным ячейкам) и импульсам (импульсным ячейкам) можно
рассматривать как независимые. Поэтому полное число микросостояний
системы равно произведению числа пространственных микросостояний на число
импульсных микросостояний.
При вычислении вероятности некоторого макроскопического пространственного
распределения число импульсных состояний одинаково как при вычислении
числа микроскопических состояний, посредством которых осуществляется
данное макроскопическое состояние, так и при вычислении полного числа
микросостояний системы. Следовательно, число импульсных состояний войдет
сомножителем в числитель и
44 1. Статистический метод
знаменатель формулы (5.1) и сократится. Тогда в формуле при вычислении
вероятности макроскопического пространственного состояния под Га и Г
можно понимать только число пространственных микросостояний.
Формулы элементарной комбинаторики. Для прямого расчета числа
микросостояний необходимы некоторые математические формулы теории
размещений.
Пусть имеется п мест и п различных предметов. Спрашивается: сколькими
способами эти п различных предметов можно разместить по п местам? Возьмем
какой-либо предмет из п различных предметов. Его можно разместить на п
имеющихся мест п способами. Второй предмет при каждом из п положений
первого предмета может быть помещен в п - 1 мест и, следовательно, два
предмета могут быть размещены на п местах п (п - 1) различными способами.
При каждом из п (п - 1) размещений третий предмет может быть помещен на п
- - 2 мест и, следовательно, три предмета на п местах могут быть
размещены п (п - 1)(и - 2) способами и т. д. Таким образом, п предметов
могут быть размещены на п местах
и(и-1)(и-2)...1*=и! (5.2)
различными способами. Например, пусть имеется п одинаковых стульев,
стоящих в ряд, и п различных людей, которые могут сидеть на этих стульях.
Число п\ дает число различных фотографий, которые можно получить,
рассаживая различными способами этих людей по стульям. Например, три
человека (мужчина, женщина, ребенок) можно рассадить на три стула 3! = 6
способами:
Пусть теперь имеется т различных предметов. Спрашивается: сколькими
способами их можно разместить по п местам? При каждом размещении т
предметов п - т мест будут свободными. Если бы эти п - т мест были заняты
различными предметами, то при каждом фиксированном расположении т
предметов их можно было бы разместить (п - т)\ различными способами. Если
перебрать все возможные размещения т предметов по п местам и при каждом
из них произвести (п - т)\ размещений п - т других предметов на
оставшихся п - т местах, то всего получается число различных размещений т
+ (п - т) = п различных предметов по п различным местам, т. е. п\
Следовательно, искомое число способов размещения т предметов по п
различным местам
&(п, п - т) = п\/(п - т)\ (5.3)
Необходимо себе представить, что при этом понимается под различными
способами размещения. Возвращаясь к примеру с фотографиями, мы под т
должны
§ 5. Вероятность макросостояния 45
понимать число различных людей, а под п - число стульев, на которых они
могут сидеть. Тогда &{п, п - т) означает число различных фотографий,
причем различными считаются не только те фотографии, на которых,
например, неодинакова последовательность, в которой сидят люди, но и те,
на которых они сидят в той же последовательности, но на других стульях.
Поэтому две фотографии, на которых они сидят рядом друг с другом в
определенной последовательности слева направо и занимают стулья с 1-го по
ш-й (стулья стоят в один ряд), отличны от фотографии, где они сидят точно
так же, но занимают стулья со 2-го по (т f 1)-й. Например, на трех
стульях (п = 3) два человека (мужчина и женщина) могут быть рассажены
3!/[(3 - 2)!] =6 способами:
Предположим, что т предметов, о размещении которых по п местам идет речь,
