Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисление средних по ансамблю. Возьмем некоторую величину, связанную с
конкретной частицей, например квадрат ее координаты. Расположение системы
координат может быть произвольным, необходимо лишь, чтобы оно было
одинаковым относительно всех систем ансамбля (рис. 5). Будем индексом i
нумеровать координату частицы в i-й системе статистического ансамбля.
Тогда, по определению средней величины, получим
В этом равенстве индекс а показывает, что вычисляемая величина является
средней по ансамблю, Na - число систем в ансамбле, xt - координата
частицы в i-й системе ансамбля. Число ячеек в каждой системе ансамбля
равно N " Ю30, а число систем Na в ансамбле предполагается значительно
большим этой величины (Na N). Поэтому можно допустить, что число систем
ансамбля, в которых частица находится в j-й ячейке, велико. Пусть это
число равно Naj. Тогда в соответствии с частотным определением
вероятности (2.1) вероятность нахождения частицы в j-й ячейке
Преобразуем сумму в (4.2) так, чтобы сгруппировать члены, относящиеся к
одной и той же ячейке, в различных системах ансамбля. Поскольку, как эго
было уже отмечено, в j-й ячейке частица находится в Naj системах
ансамбля,
(4.2)
9j = NajINr
(4.3)
(4.4)
где Xj-x-я координата j-й ячейки; Naj - число систем в ансамбле, в
которых в j-й ячейке находится частица; N - число ячеек в каждой системе
статистического ансамбля.
§ 4. Постулат равновероятности и эргодическая i инотеза 39
[.--*4(tm), ,'rf
9
Z
5. Статистический ансамбль
Q Предположим, что мы смотрим кинофильм, показывающий ловлю рыбы удочкой.
В некоторые промежутки времени рыбак вытаскивает крючок из воды, снимает
рыбку с крючка и бросает ее в ведерко с водой, затем насаживает червяка
на крючок и забрасывает его в воду. Мы хронометром измеряем
продолжительность этих промежутков времени. Очевидно, что суммарная
продолжительность этих промежутков времени, деленная на продолжительность
всего фильма, равна числу кадров, на которых зафиксированы картинки от
момента вытаскивания крючка из воды до момента его забрасывания в воду,
деленному на общее число кадров в фильме. В этом состоит главная часть
эргодической гипотезы, однако не вся гипотеза. Что же еще требуется
доказывать?
40 1. Статистический метод
С учетом (4.4) и (4.3) выражение (4.2) может быть представлено в виде
-I N N
1 О IT 1
(4.5)
где Xj - х-я координата j-й ячейки; ^ - вероятность того, что частица
находится з этой ячейке. Это выражение соответствует формуле (2.17)
математического ожидания случайной величины. В ее правой части в явном
виде нет упоминания об ансамбле систем. Представление об ансамбле в этой
формуле зафиксировано в неявном виде наличием вероятности ^ нахождения
частицы в j-й ячейке. Иногда с помощью формулы (4.5) рассуждения о
вычислении средних по ансамблю оказываются проще, чем с помощью формулы
(4.2), хотя, конечно, обе формулы эквивалентны.
Вычисление средних по времени. Проследим за положением рассматриваемой
частицы в одной из систем ансамбля в течение очень большого промежутка
времени (Т-+ оо) и найдем среднее значение квадрата х-й координаты этой
частицы. В нашей модели координата x(f) этой частицы изменяется скачками
при переходе частицы из одной ячейки в другую. Тогда, по определению
среднего по времени,
Обозначим последовательные скачки частицы индексом i; xt - координату
ячейки, в которую при свое|м движении частица переходит после i-го
скачка, a At{ - время пребывания частицы в этой ячейке после прибытия
туда при i-м скачке. На основании сказанного, интеграл в (4.6) можно
преобразовать:
При очень большом времени Т-* со частица много раз попадает в каждую
ячейку. Таким образом, за время Т она в j-й ячейке проведет время
т
(4.6)
о
т
m
fx2(t)di=
(4.7а)
о
где m - число скачков в течение времени Т:
m
i= 1
I Af,= T.
(4.76)
(4.8)
т= X т.
(4.9)
Перепишем равенство (4.6) с учетом (4.7), (4.76) и (4.8):
(4.10)
§ 4. Постулат равновероятности и эргодическая гипотеза 41
где
(4.11)
Это продолжительность пребывания частицы в j-й ячейке относительно всего
времени. В соответствии с определением вероятности (2.2в) 9j является
вероятностью пребывания частицы в j-й ячейке.
Эргодическая гипотеза. Спрашивается: равна ли вероятность (4.11)
вероятности
(4.3)?
На этот вопрос приведенные рассуждения не могут дать ответ, однако
интуитивно представляется очевидным, что это так. Утверждение
= (4.12)
[где 9j определяется формулой (4.3), а ^ - формулой (4.11)] называется
эргодической гипотезой. Ее можно выразить в ином виде, если на основании
(4.10),
(4.5) и (4.12) написать
<х2>й = <х2>"
(4.13)
т. е. среднее по ансамблю равно среднему по времени. Доказательство
справедливости этой гипотезы для общего случая до настоящего времени
отсутствует. Она является одним из основополагающих допущений
статистической физики.
Впервые эта гипотеза была высказана в 1871 г. J1. Больцманом (1844-1906).
Затем Дж. Максвелл в 1879 г. проанализировал возможность замены средних
