Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
скорость движения атомов при перескоках <п> = <d>/<x>. Дальнейшие
рассуждения аналогичны тем, которые были использованы при выводе
уравнения (52.4) и получающегося из него уравнения (52.12). Атом может
равновероятно сделать перескок <d> по шести независимым направлениям.
Следовательно,
D = <t;><d>/6 = Kd"2/(6<T". (55.1)
Для осуществления перескока необходимо, чтобы имелась вакансия и соседний
атом имел достаточную энергию для совершения перескока в вакансию.
Обозначим бв энергию, при приобретении которой атом покидает обязательно
свой узел, в результате чего образуется вакансия. В соответствии с
распределением Гиббса (7.5) вероятность образования вакансии равна
^в = Лвехр[-8в/(/сТ)]. (55.2)
С другой стороны, обозначая еп энергию, которую должен иметь атом, чтобы
совершить перескок в имеющуюся вакансию, можно для вероятности перескока
при наличии вакансии написать
(перескок/вакансия) = Апехр [- еп/(кТ)], (55.3)
где использовано понятие условной вероятности (2.14). Отсюда для
вероятности 9 того, что одновременно будет иметься вакансия и совершится
перескок в эту вакансию, в соответствии с формулой (2.16) можем написать
9= 9?а = А ехр [- (8В + 8п)/(/сТ)] = А ехр [- W/(kT)l (55.4)
где А = АВАП - постоянная; W= ев + 8П - энергия активации диффузии,
определяемая свойствами вещества.
О 1В чем состоят главные отличия механизма переноса в твердых телах и
жидкостях от механизма переноса в газах?
2. Укажите три способа осуществления диффузии в твердых телах. Каков
порядок коэффициента диффузии в твердых телах?
3. Из каких величин слагается энергия активации диффузии?
4. Чем объясняется очень большая величина теплопроводности твердых тел по
сравнению с теплопроводностью газов, если воспользоваться представлением
о фононах?
§ 55. Явления переноса в твердых телах 385
Очевидно, что частота перескоков прямо пропорциональна вероятности
перескока, т. е. 1/<т> = 9. Подставляя это выражение для <т> в формулу
(55.1), находим
D = D0exp [- W/(kT)],
(55.5)
где D0 = (1/6) ({dy)2 А - постоянная, определяемая свойствами вещества.
Коэффициент диффузии в твердых телах очень мал (неизмеримо меньше, чем
для газов). Например, для золота он равен 10"35 м2/с, в то время как для
кислорода в атмосфере он равен примерно 10"5 м2/с.
Теплопроводность. Она осуществляется не тем, что молекулы перемещаются в
твердом теле, а посредством взаимодействия между молекулами, в результате
которого их тепловое движение приобретает коллективный характер. В
результате этого тепловое движение молекул в твердом теле описывается как
идеальный газ фононов (см. § 46).
Для описания теплопроводности можно повторить рассуждения § 52, имея в
виду, что вместо движения молекул понимается движение фононов. Для потока
теплот получается формула (52.6), а для теплопроводности на основании
(52.7) можно записать выражение
(55.6)
где гзв - скорость звука в твердом теле; </ф> - средняя длина свободного
пробега фононов, вычисление которой является не простой задачей. Оно
показывает, что <Чф> = const /Т. Константа определяется свойствами
вещества.
Теплопроводность твердых тел во много раз превосходит теплопроводность
газов. В то время как теплопроводность газов при нормальных условиях
имеет порядок 1 мВт/(м ¦ К), значения теплопроводности твердых тел
нередко имеют порядок 1 кВт/(м ¦ К), т. е. в сотни тысяч и миллионы раз
больше.
В металлах помимо решеточной теплопроводности необходимо учитывать также
и теплопроводность за счет переноса теплоты свободными электронами. Для
оценки ее роли необходимо принять во внимание свойства электронного газа
(см. § 27).
При высокой температуре электронная теплопроводность очень существенна.
Именно ею объясняется высокая теплопроводность металлов по сравнению с
неметаллами. При более низкой температуре начинает преобладать решеточная
теплопроводность, а при самой низкой температуре, когда решеточная
теплопроводность очень мала, снова начинает преобладать электронная
теплопроводность.
Внешняя теплопроводность. Если твердое тело окружено средой с другой, чем
у тела, температурой, то через поверхность тела идет поток теплоты.
Температура на поверхности тела испытывает скачок от температуры Т тела
до температуры Т0 среды. Как показывает опыт, при небольших разностях
температур Т- Т0 нормальная компонента потока теплоты пропорциональна
этой разности:
/," = а(Т-Г"), (55.7)
где а - внешняя теплопроводность. Уравнение (55.7) было впервые введено
И. Ньютоном (1701). Коэффициент ос находится из эксперимента.
25 А. Н. Матвеев - 1488
386 6. Процессы переноса
Пример 55.1. Найти распределение температуры в сферическом слое тела,
внутренняя поверхность которого радиуса гх поддерживается при температуре
Тъ а внешняя радиуса г2 - при температуре Т2.
Задача аксиально-симметрична, и поток теплоты направлен по радиусу. В
стационарном состоянии тепловой поток сквозь поверхность сферы любого
радиуса между гх и г2 постоянен. Следовательно, на основе (52.6) имеем
