Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
течение которого это происходит, называется временем релаксации системы.
Для анализа изменения величин во времени необходимо иметь уравнения
теплопроводности и диффузии, зависящие от времени.
Уравнение диффузии, зависящее от времени. Рассмотрим самодиффузию, поток
которой дается уравнением (52.12). Выделим объем V в виде цилиндра,
площадь основания которого AS (рис. 141), а высота, направленная вдоль
оси X, равна Ах. По определению потока, изменение числа частиц в объеме
цилиндра в течение промежутка времени At равно
AN! = [1И1 (х + Ах/2) - 1Ч (х - Ах/2)] ASAt. (53.1)
Разлагая 1П1 в ряд Тейлора и ограничиваясь членом, линейным по Ах,
получаем
Ах 81 п (х)
дх
следовательно, выражение (53.1) принимает вид
AlVj = - Ах AS At.
8х
(53.2)
(53.3)
Тогда г A N,
аГо АРАt
At-О
дпх
dt
=
8nl
дх
(53.4)
где AV= AS Ах - рассматриваемый объем. Поскольку D не зависит от
координат, вместо (53.4) можно написать
141. К выводу уравнений переноса, зависящих от времени
дп1 = п д2"1
dt дх2
(53.5)
х-Ах/2 х+Ах/2
Это уравнение самодиффузии, зависящее от времени. Если направление
диффузии не совпадает с осью X,
§ 53. Времена релаксации 375
а имеет произвольное направление, то ANx в формуле (53.1) представляется
в виде суммы вкладов по каждой из осей координат и вместо уравнения
(53.5) получаем
(53.6)
где
V2 = д2/дх2 + д2/ду2 + d2/dz2 (53.7)
- оператор Лапласа, обозначаемый также буквой А = V2.
С помощью уравнения (53.6) можно изучить изменение концентрации пх
молекул во всех точках объема при заданном распределении концентрации в
начальный момент времени (начальные условия) и при определенных условиях
на границе объема (граничные условия). Это математическая задача,
подробно изучаемая в математической физике.
Отметим, что если рассматривается взаимодиффузия, то вместо уравнения
(52.2) необходимо пользоваться уравнением (52.21) с коэффициентом
диффузии D12, определяемым равенством (52.22). Тогда в результате
аналогичных вычислений для каждой из компонент получается уравнение вида
(53.4) с коэффициентом диффузии Dl2. Однако этот коэффициент зависит от
координат и нельзя совершить переход к уравнению вида (53.5). Необходимо
решать систему двух нелинейных уравнений.
Уравнение теплопроводности, зависящее от времени. В этом случае
рассуждения аналогичны предыдущему случаю и используется тот же чертеж
(рис. 141), надо лишь вместо потока частиц /Л1 из (52.12) взять поток
теплоты из (52.6). Тогда вместо (53.4) получаем
r AQ СуАтАТ ВТ В (. ВТ\
llm ~лТ/ХГ = llm -Л-Т7.Г = СН> -5- = , (518>
дк-о AVAt AVAt Bt 8х \ Вх
Дг-0 4
где AQ = cv Am АТ - изменение количества теплоты в объеме AFb течение
времени At; Су - удельная теплоемкость при постоянном объеме; р = Am/AV -
плотность газа. Теплопроводность X дается формулой (52.7). С учетом
(52.15) уравнение теплопроводности (53.8) принимает вид, совпадающий с
уравнением (53.5):
дТ _ п д2Т
Bt Вх2
(53.9)
с тем же коэффициентом D = */з (v) 0У- Относительно вида этого уравнения
в случае несовпадения потока теплот с осью X и относительно решения этого
уравнения можно повторить все то, что было сказано в связи с уравнением
(53.5).
Время релаксации. При отклонении некоторой величины от равновесного
значения возникают факторы, стремящиеся вернуть ее к этому значению.
Скорость приближения величины к равновесному значению считается
пропорциональной ее отклонению от равновесного значения. Обратная
величина коэффициента пропорциональности является временем релаксации.
376 6. Процессы переноса
Пусть рассматривается величина q, равновесное значение которой q0. Тогда
высказанное выше определение может быть записано следующим образом:
dq/dt = {q0 - q)/x. (53.10)
Решение этого уравнения имеет вид
(q-qo) = (q-qo)t=oe~tl\ (53.11)
где (q - q0)t=o - отклонение от равновесного значения в начальный момент
t = 0. В соответствии С общим условием об экспоненциально изменяющихся
величинах, т имеет смысл времени достижения величиной q равновесного
значения, т. е. времени релаксации.
Время релаксации для концентрации. Допустим, что в некотором объеме,
линейные размеры которого имеют порядок L, а объем - порядок L3,
концентрация или температура отличны от окружающей среды. Тогда через
поверхность объема устремится либо тепловой поток, либо поток частиц,
чтобы сделать концентрацию и темпера-туру равными их значениям в
окружающей среде. Исследуем закон, по которому происходит выравнивание
этих величин, взяв в качестве примера концентрацию частиц. Ясно, что в
результате совпадения уравнений (53.9) и (53.5) закон выравнивания
температур аналогичен.
Если <Аи> - среднее отклонение концентрации частиц от равновесной в
объеме V, то К<Ди> - избыток числа частиц в объеме по сравнению с числом
частиц, соответствующих равновесной плотности. Поток частиц через
поверхность, ограничивающую объем, положителен, если имеется избыток
частиц внутри объема, и отрицателен, если имеется недостаток. Поэтому
изменение числа частиц внутри объема в течение времени dt равно
