Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ни одного последующего
столкновения, равно
сШ = dScc*e v'n" dVdtехр (-r/</>), (51.13)
4тсг
где множитель ехр(- г/</>) в соответствии с формулами (51.4) и (51.2)
учитывает выбывание молекул из пучка из-за столкновений с другими
молекулами. Поток числа молекул, пересекающих поверхность, равен
2 л л/2 СО
v = = fd(p [de fdrexP(_r/</" = i:v,</>"o = ^:"o<^>? (51-14)
о
где v'</> = <г> в соответствии с (51.6). Формула (51.14) совпадает с
(8.32).
Теперь вычислим среднее расстояние вдоль оси Z, которое проходят
молекулы, пересекающие площадку dS после последнего столкновения. Ясно,
что это расстояние равно
(zdN
<z> = -Р , (51,15)
JdN ' K
362 6. Процессы переноса
где dN дается формулой (51.13). Вычислим (51.15):
_ V6v'"0"i"2dSdt _ 1_
lUVn0(l)dSdt 3 < л <5116)
т. е. средний пролет молекул вдоль оси Z после последнего столкновения
перед пересечением площадки dS не равен среднему свободному пробегу, а
составляет лишь 2/3 от него.
Пример 51.1. Газокинетический эффективный радиус для молекул водорода г01
= 1,37-Ю~10 м, для молекул азота г02 = 1,87- Ю-10 м, а молярные массы
водорода и азота равны Mt = 0,00202 кг/моль; М2 = 0,02802 кг/моль.
Смесь газов
занимает объем 10 л, парциальные давления водорода и азота
составляют
Рн2 - 0,75ро и pN2 = 0,25ро (р0 = 0,98 • 105 Па). Найти число
столкновений между молекулами в сосуде за 1 с и среднюю длину пробега
между столкновениями частиц различного сорта.
Принимая во внимание закон Дальтона Р = ("01 + п02)кТ = п0кТ,
где п0 = 2,7-1025 м~3 - постоянная Лошмидта, поскольку условия
нормальные,
находим:
п02 = 0,25ло = 0,675 • 1025 м"3; п01 = 0,75п0 = 2,025 • 1025 м"3.
Частоту столкновений молекул в 1 м3 находим с помощью формулы (15.12).
Тогда частота столкновений во всем объеме V= 10 л v" = Г<у'пол> = 7,75*
1032 с'1.
Длина свободного пробега молекулы водорода между соударениями с
молекулами азота [см. (51.11в)]
ll2 = • = 7l_1^l + (*01 + Г02У2П02 = 1,1 ¦ 10~4
М = 0,11 ММ,
где Oj) = [8RT/(nM^У12. Аналогично, средняя длина свободного пробега
молекулы азота между столкновениями с молекулами водорода
hi = <^2>Mi = 7с_1(1 + М2/М1у112(г01 + г02)~2 Hoi = 8,1 • 10_6 м.
Пример 51.2. Найти вероятность того, что молекула (атом) гелия пройдет
отрезок 0,5 мм без столкновений. Гелий находится при 0°С и давлении 100
Па. Его газокинетический радиус 1,9-10"10 м.
Используя (51.4) и (51.2), находим, что вероятность пробега пути без
столкновений равна
&{х) = ехр (-х/< /". (51.17)
Длина свободного пробега [см. (51.116)]
ОУ - 1/(4 [/2 • пгоп0) = 0,263 мм, поэтому искомая вероятность ^(0,5 ¦
КГ3 м) = ехр(-0,5/0,263) = 0,15.
§ 52. Процессы переноса в газах 363
139
х-г<1>/г % x+2<i >/з
§ 52 Процессы переноса в газах
Выводится общее уравнение переноса и на его основе обсуждаются
теплопроводность, вязкость и диффузия в газах. Рассматривается
термическая диффузия.
Обсуждается парадокс Гиббса.
Общее уравнение переноса. Пусть G характеризует некоторое молекулярное
свойство, отнесенное к одной молекуле. Этим свойством может быть энергия,
импульс, концентрация, электрический заряд и т. д. Если в равновесном
состоянии G постоянно по объему, то при наличии градиента G имеет место
движение G в направлении его уменьшения.
Пусть ось X направлена вдоль градиента G. Среднее расстояние, пробегаемое
молекулами, пересекающими площадку dS (рис. 139) после последнего
столкновения, равно согласно (51.16) 2</>/3. Эта величина в большинстве
случаев достаточно мала и G на расстоянии 2</>/3 от площадки dS можно
представить в виде
GI х±4<г>) = с(х)±4</>^-.
(52.1)
ограничившись первым членом разложения в ряд Тейлора в точке х.
Поток числа молекул в направлении оси X равен п0 <г>/4. Следовательно,
поток G сквозь площадку dS в направлении отрицательных значений оси X
равен
!с' = - -JПо <"> |g (х) + у < |> j, (52.2)
а в направлении положительных значений оси X дается выражением
*с+) = -^п0<т>
(52.3)
139. К выводу общего уравнения переноса
Следовательно, полный поток в положительном направлении оси X в точке х
имеет вид
(52.4)
Уравнение (52.4) является основным уравнением процессов переноса
количества G.
Теплопроводность. В этом случае G есть средняя энергия теплового
движения, приходящаяся на одну молекулу. Она переменна в том случае, если
от точки к точке
364 6. Процессы переноса
меняется температура. При этом IG - поток теплоты, который будем
обозначать Iq. Из теоремы о равнораспределении энергии по степени свободы
имеем
kN л
NkT 2 JVA ' Na Тогда уравнение переноса (52.4) принимает вид
R
Na
т=
т.
140
(52.5)
(52.6)
Ды}
1 Ах
где
^ = jno <v> 0> ^ = у Р <^> <*> cv
(52.7)
- теплопроводность, р = n0m, су - Cv/(NAm) - соответственно плотность и
удельная теплоемкость газа при постоянном объеме. Уравнение (52.6)
называется уравнением Фурье для теплопроводности или законом Фурье.
Учение о теплопроводности начало развиваться во второй половине XVIII в.
и получило свое завершение в работах Ж. Б. Ж. Фурье (1768-1830),
