Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
С другой стороны, поскольку температура и кТ очень малы, выражение
(46.45) справедливо вплоть до частот, для которых h(D>kT. В этой области
ехр[ ЛыД/сТ)],
330 5. Твердые тела
входящая в знаменатель выражения (46.16), велика и, следовательно,
среднее число мод с очень большими частотами экспоненциально мало. Это
означает, что вклад от них в общую энергию очень мал. Поэтому, несмотря
на то что выражение (46.45) для больших частот не справедливо, им можно
пользоваться до сколь угодно больших частот, поскольку экспоненциальный
множитель обратит в нуль вклад от этих частот в вычисляемые величины.
Теплоемкость при низкой температуре. Полная энергия всех мод колебаний,
связанная с тепловой энергией, равна
17 = | <п(со)>р(со) /г со dco = (j
1 2 \ Г со3 dco
пР + *4,) J ехр [/геоД/сТ)] - 1
¦s?(i+ir"'ir
е* - 1 "
(46.46)
Входящий в это выражение интеграл может быть вычислен методами функций
комплексного переменного. Он равен
* к4
е5 - 1 15 '
О
Формула (46.46) позволяет вычислить теплоемкость:
с^=(4)гг3 <46-47)
Такая зависимость теплоемкости от температуры вблизи температуры 0 К
согласуется с данными эксперимента.
Температура Дебая. Строго говоря, все проведенные расчеты, в частности
вывод дисперсионного соотношения, справедливы только для волн с
достаточно большой длиной волны. Поэтому полученная на основе
дисперсионного соотношения формула (46.45) также справедлива лишь для
таких же волн, т. е. для не слишком больших частот. Однако из замечаний о
вкладе в теплоемкость волн с короткой длиной волны, сказанных в связи с
формулой (46.45), следует, что мы не сделаем большой ошибки, если
применим эту формулу также и для больших частот, вплоть до максимальной
частоты Шмакс, определенной таким образом, чтобы полное число мод при
этом было равно фактически имеющемуся числу мод 3NA. Поэтому
"макс
зNa= j р (со) dco. (46.48)
о
Максимальная частота шмакс зависит от упругих свойств материала. Вообще
говоря, частота сомакс может быть различной для различных направлений
поляризации. Однако для упрощения формулы в (46.48) взята некоторая
средняя максимальная частота. Подставив выражение (46.45) в (46.48) и
проинтегрировав, получим
( 3Na \1/3
"W = 2 *<">(4^) . (46-49)
§ 46. Теплоемкость твердых тел 331
121
(c)D ^(r)макс/^
где <г> - средняя скорость звука, определяемая соотношением
1/г3пр + 2/i?nn = 3/"г))3. (46.50)
Максимальную частоту, определенную в соответствии с условием (46.48),
принято выражать через температуру Дебая (c)D, получаемую из соотношения
к(c) о = ^(r)макс- (46.51)
Обычно температура Дебая лежит в пределах от 100 до 1000 К. Например, для
меди она равна примерно 340 К, а для алмаза - около 2000 К.
Теплоемкость при произвольной температуре. При вычислении энергии U в
(46.46) не учитывалось наличие максимальной частоты сомакс, определяемой
формулой (46.48). Если это учесть, то интеграл необходимо ограничить
частотой сомакс. Тогда вместо формулы (46.46) получим
(r)макс
и =
\2nL3
(2nh) "г"3
I
со3 dco
ехр [/гшД/сГ)] - 1 '
(46.52)
где <г> определяется соотношением (46.50). Переходя при интегрировании к
безразмерной переменной
Ъ=Ы/{кТ) (46.53)
и принимая во внимание (46.49) и (46.51), получаем
(c)d/т
U = 9NAkT
Т
(c)D
ехр ? - 1 '
(46.54)
121. Универсальная кривая теплоемкости твердых тел
Теплоемкость Cv находим дифференцированием (46.54) по Т. При Т <| (c)D
верхний предел интегрирования может быть распространен до оо, тогда
получаем (46.47).
При Тр (c)D верхний предел интегрирования близок к нулю и, следовательно, \
в подынтегральном выражении очень малая величина, и можно считать, что
ехр ? % % 1 + ?. Поэтому формула (46.54) принимает вид (c)D/т
U = 9NAkT
= 3NAkT=3RT.
(46.55)
Следовательно, теплоемкость в этом случае равна
Cv = (dUf8T)v = 3 R, (46.56)
т. е., как и должно быть, соответствует закону Дюлонга и Пти.
332 5. Твердые тела
При температуре Т ~ (c)D интеграл в (46.54) не может быть вычислен
аналитически и приходится пользоваться численными методами. Свойства
различных материалов учитываются значением температуры Дебая (c)D. Поэтому
кривая теплоемкости как функция отношения T/0D является универсальной.
Она показана на рис. 121 и находится в великолепном согласии с данными
эксперимента, показанными качественно в виде кривой на рис. 118.
Вывод формулы для теплоемкости, исходя из представлений о фонолах. Для
того чтобы освоиться с представлением о квазичастицах, полезно вывести
формулу для теплоемкости твердого тела на основании представления о
фононах.
Как уже было отмечено в связи с формулой (46.13), моду колебаний, несущую
энергию Лео, можно рассматривать как квазичастицу. При таком подходе
тепловые колебания решетки сводятся к совокупности фононов,
рассматриваемой как идеальный газ.
Энергия фонона в соответствии с (46.13) равна ? = Лео, (46.57)
а его импульс р связан с волновым числом к обычным соотношением для
свободных частиц:
р = Ик. (46.58)
Энергия и импульс фонона связаны соотношением (46.35), которое с учетом
