Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пу, + v2) = Fl t ^ = Ц- + \ = fivj + W.v2) -
где Vl2) = V12/V- вероятность нахождения частицы в области пересечения
объемов.
Условная вероятность. Вероятность наступления события А при условии, что
произошло событие В, называется условной вероятностью наступления события
А и обозначается &(А/В).
Поскольку общее число исходов испытаний, при которых произошло событие В,
равно NB и из этого общего числа в NAB случаях произошло событие А, то
9{А/Е) = NAB/NB.
(2.9)
При континуальном определении вероятности условная вероятность #(Fi/V2)
нахождения частицы в объеме Vx в случае, если она находится в объеме V2,
сводится к вычислению вероятности нахождения частицы в объеме У12 в
случае, если она находится в объеме V2, поэтому
WVJVj) = V12/V2.
Формулу (2.9) удобно преобразовать, разделив числитель и знаменатель
правой части на N:
mm-N">N -ПлВ) aw)
(/) NB/N i>(B) ' (Z10)
где &(АВ) - вероятность совместного наступления событий Л и В,
определенная (2.8). Выражение (2.10), переписанное в виде
#(ЛВ) = #(В) @(А/В) = &{А) &(В/А),
(2.11)
называется формулой умножения вероятностей.
Независимые события. События называются независимыми, если вероятность
наступления одного из них не зависит от того, наступило или не наступило
другое событие. Это означает, что если, например, событие А не зависит от
события В, то &(А/В) = &{А). Для независимых событий формула (2.11)
принимает вид
f(AB) = #(А) #(В).
(2.12)
§ 2. Математические понятия 27
3
Она часто применяется как для вычисления вероятности совместного
наступления независимых событий, так и для проверки независимости
исследуемых событий.
Формула умножения вероятностей для многих событий получается
непосредственно из выражения (2.11). Например, вероятность одновременного
наступления событий А, В, С задается выражением
9(АВС) = @(АВ) 9(С/АВ) = 9(A) 9(В/А) 9(С/АВ\
(2.13)
В случае независимых событий 9 (ABC) = 9(A)9(B)9(Q. (2.14)
Это равенство выражает необходимое и достаточное условие независимости
трех событий.
Среднее значение дискретной случайной величины. Если случайная величина X
принимает ряд значений xls х2, ... ..., хдг, то ее среднее значение
определяется равенством
1 N
<х> = Ж,.?--
(2.15)
Среди значений могут быть одинаковые, поэтому сумму по i в правой части
(2.15) надо перегруппировать, чтобы в нее входили только разные xf:
<х> = ?(ltyA0x,
(2.16)
3. Геометрическое значение
среднего значения: площадь под прямой <ф>, между г0 и ti равна площади
под кривой cp(t)
где N = Nj, причем Nj - число одинаковых членов в j
сумме (2.15), имеющих одинаковое значение Xj. Так как (Nj/N) - 9j -
вероятность того, что X принимает значение Xj, то формулу (2.16) для
среднего значения можно записать в виде
(2.17)
Эта формула определяет математическое ожидание случайной величины с
учетом вероятности.
Среднее значение непрерывно изменяющейся величины. Оно вычисляется по
формуле, аналогичной (2.15). Пусть
28
1. Статистический метод
в интервале от t0 до t1 задается формулой
причем индекс t у угловых скобок, характеризующих усреднение, показывает,
по какой величине производится усреднение. Если необходимо указать
интервал времени (f0, tх), на котором находится среднее, то это также
может быть указано в левой части равенства у знака среднего. Однако в
большинстве случаев усреднения переменная, по которой производится
усреднение, хорошо известна и не обозначается соответствующими значками.
Геометрическая интерпретация среднего значения <ф>, указана на рис. 3.
Следует отметить, что среднее значение зависит от переменной, по которой
производится усреднение. Например, при движении материальной точки по
полуокружности ее среднее расстояние от диаметра будет различным (рис. 4)
при усреднении по пути вдоль полуокружности и при усреднении по пути
движения проекции этой точки по диаметру окружности:
kR
<d>* = ik\RsiD(ic)ds = ir'
о
R
<d>x = Жj ]/К2-хг<Ьс = Щ-.
-R
Выражение (2.17) обобщается для непрерывно изменяющейся случайной
величины формулой
4. Среднее значение зависит от переменной усреднения
(2.18)
00
<х> = j xf(x)dx,
- 00
где f(x) - плотность вероятности распределения величины х.
Дисперсия. "Разброс" величины около ее среднего значения характеризуется
дисперсией. Она определяется
§ 2. Математические понятия 29
средним квадратом отклонения рассматриваемой величины от ее среднего
значения и задается формулой
о2 = <(х - <х"2> = <[х2 - 2х <х> + "х"2]> = <х2> - "х"2.
(2.19а)
Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или
среднеквадратичным отклонением.
С учетом (2.17) и (2.18) формула (2.19а) может быть расписана более
подробно:
а) для дискретной случайной величины
О2 = Е(Х; -
j
(2.196)
б) для непрерывной случайной величины
°2 = J (х - <x"2/(x)dx.
(2.19в)
Функция распределения вероятностей. Вероятность того, что случайная
величина х принимает значения, меньшие некоторого заданного числа х0, т.
е. х < х0, задается формулой
(2.20)
Определяемая в (2.20) функция F (х0) называется функцией распределения
