Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
-" оо) = 1 ~^00-) = 1 = J Дх, у, z) dx dy dz.
iV0 ^-oo
Условие
J f(x, y, z)dxdydz = 1 (2.26)
V, -* оэ
называется условием нормировки плотности вероятности. Оно показывает, что
при каждом наблюдении молекула будет обнаружена в какой-то точке
пространства, т. е. выражает факт существования молекулы.
Если известно, что молекула находится в замкнутом объеме V, ограниченном
стенками сосуда, то условие нормировки принимает вид
J/dF= 1.
V
Допустим, что нет факторов, которые делали бы для молекул неравноценными
различные области внутри сосуда. Например, сосуд находится при
определенной температуре в инерциальной системе координат (т. е. полей
тяготения нет). В этом случае очевидно, что плотность вероятности равна
постоянной величине: /0 = const. Ее значение находится из условия
нормировки
J/odK=/"fdF=/"F= 1.
V V
Следовательно, плотность вероятности в этом случае /о = 1/к
Если теперь взять объем V1, составляющий часть объема V, то при N0
наблюдениях молекула будет обнаружена в этом объеме
1 Vi
24 1. Статистический метод
раз. Поэтому вероятность обнаружения молекулы в объеме Vi равна
9(VJ = [N (Vi)/Nq] = Vi/V. (2.2в)
Эта формула справедлива лишь при постоянной плотности вероятности внутри
объема V и если известно, что молекула наверняка находится в этом объеме.
Однако ввиду наглядности удобно с ее помощью иллюстрировать общие теоремы
теории вероятности. Строгое доказательство теорем будет проводиться на
основе общего определения вероятности (2.1).
Сложение вероятностей взаимно исключающих событий.
Пусть имеются два события, взаимно исключающие друг друга. Например, если
в объеме V имеются два непересе-кающихся объема Vt и У2 (рис. 1), то
нахождение частицы в объеме Vx исключает ее нахождение в объеме V2.
Следовательно, нахождение частицы в объеме Vx и ее присутствие в объеме
У2 являются взаимно исключающими событиями.
Рассмотрим событие, заключающееся в том, что частица находится либо в
объеме Уъ либо в объеме V2- Вероятность этого события
9<ух + V2) = Kl+= Ц-+ Ц- = f(Vt) + (2.3)
т. е. является суммой вероятностей нахождения частицы в объемах Ух и У2.
Формула (2.3) выражает правило сложения вероятностей для взаимно
исключающих друг друга событий.
Применим это правило к бросанию костей. Выпадания на верхней грани чисел
1, 2, ... являются взаимно исключающими событиями. Поэтому вероятность
того, что на верхней грани выпадет, например, либо 1, либо 2, равна
9(1 +2) = 9(1) + 9(2).
Таким образом, общая формула для сложения вероятностей взаимно
исключающих событий А и В имеет
1. Континуальная интерпретация вероятностей
(2.4)
где 9 (А + В) - вероятность того, что происходит либо событие А, либо
событие В. Одновременное наступление событий А и В исключается,
одновременное же отсутствие событий А и В допускается.
вид
9 {А + В) = 9(A) + 9(B),
§ 2. Математические понятия 25
I4=i
i= i
. К определению сложения роятностей и условной роятности
Нормировка вероятности. Пусть известны все равновозможные исходы
испытаний в данной системе, которые составляют в совокупности некоторое
число различных взаимно исключающих событий (случаев), которые удобно
нумеровать индексами 1, 2, ... , п. Обозначим Nt число исходов испытаний,
в которых осуществилось событие, обозначенное индексом /. В соответствии
с этим
JV1 + N2 + ... + N"= ? JV, = N. (2.5)
i = 1
Следовательно,
- вероятность /-го события. Формула
(2.6)
где ", = NJN
i=i
называется условием нормировки вероятностей. Она утверждает, что
рассматриваемая совокупность взаимно исключающих событий является полной,
т. е. каждый исход испытаний принадлежит этой совокупности.
Сложение вероятностей в общем случае. Если условия таковы, что возможно
одновременное наступление событий А и В, то формула (2.4) для сложения
вероятностей должна быть изменена. Пусть общее число испытаний N. В
исходах этих испытаний в NA случаях наступило событие А, а в NB случаях -
событие В. Во всех остальных исходах ни событие А, ни событие В не
наступили. Однако среди случаев наступления событий Na и Nb имеются
такие, когда одновременно наступили и событие А, и событие В. Обозначим
число таких событий Nab. Эти исходы учитывались дважды: один раз - вместе
с событием А, а другой - вместе с событием В. Поэтому общее число событий
А либо В равно Na+b - Na + NB - Nab. ве- Разделив обе части этого
равенства на N, получим
(2.7)
ве-
где____________________________
(2.8)
26 1. Статистический метод
- вероятность совместного наступления событий Ли В. Если она равна нулю,
т. е. события взаимно исключающие, то формула (2.7) переходит в (2.4).
Особенно наглядный вид формула (2.7) принимает в случае континуальной
интерпретации вероятности [см. (2.2в)]. Пусть области Vy и V2
пересекаются (рис. 2). Обозначим область их пересечения V12. Объем
области, которая получилась в результате сложения Vx и V2, равен Vx + V2
- V12. Следовательно, вероятность того, что частица находится в этом
объеме, равна
