Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
шестигранных костей, на гранях которых нанесены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6,
равновозможными исходами при N бросаниях кости является наличие на
верхней грани любого из этих чисел. В N/6 исходах имеет место, например,
появление числа 1. Следовательно, для этого события Nx = N/6 и
вероятность #(1) = 1/6. Аналогично вычисляются вероятности появления
двойки, тройки и т. д.:
0(1) = 0(2) = ... = 0(6) =1/6.
Отметим, что в этом случае статистической системой является отдельная
кость, а ансамблем - совокупность N одинаковых костей.
Плотность вероятности. Если событие характеризуется непрерывно
изменяющимися величинами, то определение вероятности с помощью формулы
(2.1) лишено смысла. Например, лишено смысла спрашивать, какова
вероятность того, что скорость частицы равна 10 м/с. Это обусловлено тем,
что "число" всех возможных скоростей не может быть сосчитано, поскольку
скорость - непрерывная величина. Множество событий в этом случае не
является счетным, и их вероятностное описание осуществляется с помощью
плотности вероятности.
Представим себе замкнутый сосуд с газом, находящийся в неизменных внешних
условиях. Молекулы газа беспорядочно движутся в сосуде, хотя это,
конечно, не означает, что все части объема сосуда для них равнозначны.
Например, если сосуд находится в поле тяжести, нижние части сосуда для
молекул более "предпочтительны", чем верхние, но тем не менее молекулы
находятся во всех частях объема. Допустим, что некоторым способом мы
можем определять местоположение в пространстве какой-то выделенной среди
других молекулы, не возмущая ее движения и не изменяя ее местоположения
актом измерения. При различных актах наблюдения молекула оказывается в
различных точках. Разделим все пространство, в том числе и вне объема
сосуда, на небольшие объемы AVt. Очевидно, что число таких объемов
бесконечно (i = 1, 2, ...). Число актов наблюдения обозначим N. При
каждом акте молекула окажется обнаруженной в каком-то объеме AVt.
22 1. Статистический метод
Пусть при N актах наблюдения (Nсо) молекула обнаружена Nt раз в объеме
AFf. Тогда в соответствии с определением (2.1) вероятность обнаружения
молекул в объеме AF, при очередном наблюдении
*А"э=йа 5-
Если речь идет о замкнутом сосуде, то во всех объемах АЦ вне сосуда
молекула не была обнаружена ни разу, т. е. Nt = 0 для этих объемов и
вероятность обнаружения молекул в объемах вне сосуда ^{AV^} = 0.
Внутри сосуда эта вероятность, вообще говоря, отлична от нуля и даже при
равных объемах АЦ не постоянна. Например, если сосуд находится в поле
тяжести, то эта вероятность у дна сосуда оказывается несколько большей,
чем в его верхней части. Эта вероятность зависит, однако, от объема АЦ и
поэтому неудобна для использования в качестве первоначального понятия.
Поэтому пользуются понятием плотности вероятности, определяемой
равенством
г/ ч г г N'
/ (х, у, z) = lim -пт- = lim т т; ЛГ\ J у ' ац~>о АЦ д^->о АЦЫ '
N->co
(2.2а)
где х, у, z - координаты точки, к которой стягивается бесконечно малый
объем А1^. Таким образом, плотность вероятности является вероятностью
нахождения молекулы в бесконечно малом объеме, отнесенной к величине
объема, т. е. она определяется так же, как другие "плотности", например
плотность массы р = lim (Am/A F). Ана-
Д Г-"0
логично (2.2а) можно определить плотность вероятности на двумерном
многообразии (поверхность), одномерном или многомерном с числом измерений
более трех.
Из (2.2а) следует, что если произвести N0 наблюдений, то в объеме dF в
окрестности точки (х, у, z) молекула будет обнаружена в
dN = N0f (х, у, z)dV= N0f (х, у, z)dx dy dz
случаях. В конечном объеме Vt молекула окажется обнаруженной A(Fi) = N0
J/(x, у, z)dxdydz
Vi
§ Признание случайного характера событий не означает отсутствия причинной
взаимосвязи между ними. Причинная взаимосвязь событий универсальна, а
характер детерминированности может быть различным, в частности
детерминированность может быть лишь статистической.
Случайный характер событий не означает их неуправляемости и
бесконтрольности. Чтобы повысить шансы выиграть в лотерее, надо закупить
побольше билетов. Возможность воздействия на случайные события давно была
выражена поговоркой: "На бога надейся, но сам не плошай".
§ 2. Математические понятия 23
раз. Отсюда следует, что вероятность быть обнаруженной при
наблюдении
в объеме Vx для молекулы равна
^(Ti)= -1Г^-= J/(*.>', z)dxd}'dz.
No у,
Таким образом, знание плотности вероятности позволяет найти вероятность
для любой области, в которой определена плотность. Для газа в замкнутом
сосуде плотность вероятности в точках вне сосуда равна нулю.
Если в качестве Vx взять все пространство Уг -+ со, то при каждом
испытании частица окажется в какой-то точке пространства и,
следовательно, число наблюдений частицы в объеме Vl-*co равно числу
испытаний N0i т. е. N(Vl -> оо) = jV0. Для вероятности нахождения частицы
в объеме V1~* со (т. е. в какой-то точке пространства)
