Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маттис Д. -> "Теория магнетизма" -> 73

Теория магнетизма - Маттис Д.

Маттис Д. Теория магнетизма — М.: Мир, 1967. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyamagnetizma1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 148 >> Следующая

с волновыми векторами, имеющими следующие декартовы координаты (в /с-
пространстве):
2jt
кх, ку, к2 и к'х, ку, k'z = -j- ¦ Целое число. (56)
Таковы собственные состояния, когда либо к, либо к" = 0. Для
значений к, к', отличных от нуля из-за взаимодействия, необходимо взять
линейные комбинации таких плоских волн, чтобы получить собственные
состояния. Удобно выделить движение центра инерции, введя соответствующий
волновой вектор к и координаты центра инерции R
Ri 4- Rj
K = k + k\ R = ^ (57)
а также волновой вектор q и относительные координаты г
q = . г = Ri - Rj. (58)
С их помощью можно выразить fa в виде
hi = eiK¦R 2eiq'г / (ч)} =eiK'R ^ W}- <59>
q
а поскольку fa должно быть равно то мы требуем, чтобы F(t)=F( - i) или
/( - q)^/(q). (60)
188 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
Постулируя эти формулы для амплитуд fa, используют тот факт, что
взаимодействие J,] зависит только от разности координат Rj и Rj, и,
следовательно, полный импульс должен быть постоянной движения. Для
каждого К набор собственных функций / (q) должен быть определен отдельно,
но легко убедиться в том, что два решения, принадлежащие к различным
значениям К, ортогональны.
Допустив эту форму для fij, найдем уравнения, которые следует решить,
чтобы определить амплитуды / (q) при данном К. Подставляя функции (59) в
уравнение (54), находим
(Е -E0-2g\iBH - 2sJz) F (т) + 2sJ ^ (cos - fi)F(r + fi) =
6
= /(r) [(cos^-т) F(0)- ] . (61)
Таким образом, К - это параметр уравнения, но для данного К такие
уравнения порождают ортогональные решения; итак, припоминая предыдущее
замечание относительно различных К, мы убеждаемся, что эта процедура
приводит к полной ортонормиро-ванной системе волновых функций. Векторы fi
- это векторы, связывающие избранный спин с его ближайшими соседями, для
которых взаимодействие / (fi) = J =^= 0. При всех других расстояниях /
(г) равны нулю. Умножая уравнение для F (г) на е-'Ч'г и суммируя по всем
г, получаем уравнение для / (q):
^ Е - Е0 - 2g\iBH - 2sJ 2 (1 - cos ¦ fi cos q ¦ 6 J J / (q) =
6
= -^ 2 (;os4-^ 2 (cos (r) - cosk'6) / (^)- (62)
6 k
Мы использовали обычное тождество
Для краткости введем обозначение, которое будет многократно
использоваться
Yt(q) = Е0 f 2.g\iBH-f-2s/^ (l - cos-^-ficosq-fi) . (63)
б
Это "невозмущенная энергия"; ее значения заключены между минимумом при q
= 0 и максимумом при qx = л/а, где х - любая из z/2 декартовых осей, если
допустить, что cos К-6/2 > 0.
ДВУХМАШИННЫЕ И СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 189
Это область "непрерывного спектра". На фиг. 6.2 приведена кривая, которая
иллюстрирует соотношение (63) в случае одномерной модели (z = 2). Область
непрерывного спектра заштрихована. Связанные состояния, если они
существуют, должны находиться
Фиг. 6.2. Энергия двухмагнонных состояний в линейной цепочке.
Заштрихована область непрерывного спектра. Одиночная линия - связанное
состояние.
-7Г
за пределами области состояний, лежащих между этими максимальным и
минимальным значениями (q), т. е. должны лежать ниже
E0 + 2g\iBH + 2sJ 2 (l - cos^r' fi)
или выше
E0 + 2g\iBH + 2sJ 2 (1 + cos^-'fi) •
Далее уравнения упрощаются в два приема. Прежде всего определим z/2-
мерный вектор V - (Vx, ...):
Vx = -^-'2j[cos^-6x -cos kx-6x}f (к) (64)
k
и аналогично другие компоненты V. Затем разделим обе части уравнения (62)
на Е - yk (q) и умножим обе стороны на
-др- ( cos -2~ 6Ц cos Q'j/Syj ,
где у- также одна из декартовых координат кристалла, не обязательно
совпадающая с х (за исключением одномерного случая!), и суммируем по q.
Результат таков:
7/2
Vy=YiMv,xVx или V = M-V. (65)
2С=1
Мы ввели матрицу Му< х размерности (z/2) X (z/2)
ъг о 17 V cos Чха [cos (Ян/2) а - cos qya]
190 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
Таким образом, выражения (65) это обычная линейная однородная система из
s/2 уравнений для собственных значений, записанная в матричной форме, и
условие существования нетривиальных решений имеет вид
Det || б,, - Mi, j П = 0 (i, / = 1.....|). (67)
Прежде всего заметим, что решения отличаются от невозмущенного на
величину порядка 1 IN. Это видно, если положить Е = ук (q') N_1e (q'),
где q' - некоторый разрешенный волновой вектор. При е = 0, если числитель
случайно не равен нулю, соответствующее слагаемое бесконечно в точке q'.
При малых конечных величинах е элементы матрицы Mfi j могут принимать
любые значения между - оо и + оо и, в частности, можно так подобрать
величины е (q'), чтобы обратить детерминант в нуль. Новые значения
энергии перемежаются со старыми и известны как решения, обусловленные
рассеянием; их плотность (число состояний на единицу интервала энергии)
пропорциональна N1).
Однако решение может возникнуть значительно ниже области непрерывного
спектра или появиться выше его. Это - связанные состояния, если в пределе
при N ->- оо собственная энергия такого состояния не зависит от N. Можно
показать, что F (г) в этом случае распространяется только на конечное
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 148 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed