Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
с одномагнонным собственным состоянием, к которому применен оператор
рождения полного спина S+ =
- C,iSi+t|5|c' . (45)
Но оператор S+ (как S~ ж S:) коммутирует с обменной частью гамильтониана,
поэтому он оператор рождения для S2. (Полный спин, конечно,- хорошее
квантовое число. Заметим, что здесь как и везде, где это удобно, принято
% = 1.) Имеем
\sz, s+]=s+, (46)
т. е.
S' (?+ф) = 5+ (Sz -)- 1) ф.
Таким образом, для гамильтониана SB (38)
SBipoi,' = C'S+ (SB 4~ Ц\^вЩ Фк' = (Е (k') S g\iBH) фок' (47)
и, следовательно,
Е (Ок') = Е0 4- Па (к') -f gliBH = Е0 + Пи (к') + Па (0). (48)
В отсутствие внешнего поля Н имеем ш (0) = 0 и в этом частном случае
двухмагнонное и одномагнонное состояния вырождены. Во всяком случае, это
собственное состояние, так как в магнитном поле нет ни "рассеяния", ни
сдвига энергии (помимо обычного зеемановского изменения энергии). Из
соображений непрерывности можно ожидать, что если кик' достаточно малы,
то
Е (кк') =Е0 -р Тгсо (к) 4- На (к') 4- Поправки, (49)
где поправки - порядка UN, как обычно в процессах рассеяния; конечно,
этот результат может быть получен вычислением, если функции (44)
рассматривать как набор вариационных функций, а энергию вычислять с
помощью вариационной формулы
I <55? I tb,.,.,)
?<kk'>= ¦ <50)
Но независимо от качества этого рассуждения, математически оно
неправильно по двум причинам.
1. Функции фкк- не ортогональны, хотя их неортогональность всего
порядка 1 IN\ она приводит к тому, что Дайсон назвал "кинематическим
взаимодействием"J). Это нужно принять в расчет
4 Учет "поправок" к линеаризованному гамильтониану для расчета
взаимодействия между спиновыми волнами впервые был произведен А. И.
Ахиезе-ром в 1946 г. [Journ. of Phys. (СССР), 10, 217 (1946)].- Прим.
ред.
186 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
при решении задачи о нахождении собственных значений энергии. Заметим,
что для s = 1/2 двухмагнонных состояний больше, чем нужно: имеется 1LN (N
+ 1) функций для описания 1/2N (N - 1) физических состояний. Это
показывает, что функции (44) в этом случае не могут быть ортогонализованы
даже в принципе.
2. Эти функции не диагонализуют гамильтониан, за исключением тех случаев,
когда либо к, либо к' равны нулю; когда оба волновых вектора конечны,
имеется рассеяние, т. е. на языке Дайсона "динамическое взаимодействие",
которое может привести даже к связанным состояниям. Чтобы убедиться в
этом, следует выйти за пределы приближенного рассмотрения и точно
диагона-лизовать SB внутри соответствующего подпространства функций tyij.
К счастью, гамильтониан не имеет матричных элементов, связывающих любое
из этих состояний с состоянием вне подпространства, так что задача хорошо
определяется, как и в случае одно-магнонных собственных состояний.
Пусть одно из собственных состояний определяется так:
ч>=2/,да| о), 1п=1и\ (51)
i >i
решим уравнение
Sgy = Ey (52)
для амплитуд /^-. Для этого нет необходимости использовать нормировочные
постоянные (43), а можно считать, что они включены в fij, так как
свойства гамильтониана всегда таковы, что собственные состояния,
принадлежащие различным энергиям, автоматически ортогональны. Умножая
уравнение Шредингера (52) с обеих сторон на
(0|ВД (53)
и суммируя, получаем уравнения для амплитуд, которые имеют вид
(.E - E0 - 2g\LBH - 2sJz)flj4-s'2. (Jmfin + Jinfnj) =
71
= (54)
где каждая из связей Jtj, Jnj, Jln = /, когда соответствующая пара
индексов (?/), (п]) и (in) соответствует ближайшим соседям и равна нулю в
противоположном случае. Это уравнение правильно при всех значениях s.
Даже когда s = 1/2, нефизические амплитуды fn и
т. д. сокращаются в обеих частях (54). Тем не менее
в этом случае удобно определить фиктивные /;i, чтобы упростить
вычисления. Для этого имеется по меньшей мере два пути: один, выбранный
Бете для линейной цепочки (см. стр. 216), заклю-
ДВУХМАГНОННЫЕ И СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
187
чался в наложении условия /i; -f- fjj = -j- fjt, где j, i -
ближайшие соседи; такое соотношение представляет собой как бы "граничное
условие", обеспечивающее справедливость однородного уравнения для каждой
пары узлов. Но, вообще говоря, целесообразнее было бы рассматривать
специальный случай s = х/2 на тех же основаниях, что и s > 1/2, и
считать, что уравнение (54) при i = j определяет нефизическую амплп ТУДУ
fa- Заметим, во всяком случае, что Jц равно нулю, если г, / не являются
ближайшими соседями, так что за этим исключением правая часть уравнения
(54) автоматически равна нулю. Периодические граничные условия требуют,
чтобы
fij = fij i где R,- -Ry = (L, 0, 0) или (0, L, 0) (55)
и т. д. для объема L3 в трехмерном случае, для квадрата площади
L2 в двумерном и для L в одномерном. И если бы правая сторона уравнения
(54) действительно повсюду обращалась в нуль (вместо "почти повсюду"), то
решения уравнения (54) в виде плоских волн удовлетворяли бы приведенным
выше граничным условиям
fu = ei(k' Ri+k' ¦ r7> + ei(k'' R'+k' rj°
