Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
остальных разделах этой главы.
Следует заметить, что для образцов сферической формы Nx = = Nv = N z =
4я/3 (по теореме Шлёмана, см. гл. 5) и, следовательно, в выражении для
частоты длинноволновых магнонов остается только приложенное поле Н (если
вообще имеется какое-то поле). В дальнейшем в этой книге мы всегда будем
допу-
х) Формулу (37) можно получить, если феноменологически рассматривать
макроскопические магнитные колебания при температуре, отличной от
абсолютного нуля (см., например, сб. "Ферромагнитный резонанс" под ред.
С. В. Вонсовского, ИЛ, 1961, стр. 267).- Прим. ред.
ОДНОМЛГНОННЫЕ СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ 183
скать, что геометрия образца сферическая, ибо это значительно упрощает
формулы - более чем достаточное вознаграждение за потерю общности.
ОДНОМЛГНОННЫЕ СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
До сих пор мы не использовали преимущества того уникального факта, что
для ферромагнетика с гамильтонианом
m = -J 2S SrSj-f я№а2я1 (38)
блпж,
соседи
известно основное состояние - состояние, в котором все спины направлены
вниз. Такое состояние в дальнейшем будет обозначаться
Ч^о = | 0), его энергия Е0=-NHg}iBs - NzJs2. (39)
Это состояние "вакуума". Имеется N различных ортогональных
и нормированных волновых функций, каждая из которых отвечает перевороту
одного спина
ф* = (2*Г1/2^|0). (40)
Каждая функция соответствует определенному выбору Rj. Весьма удивительно
следующее: когда оператор SB действует на функцию ф;, он создает другую
функцию того же типа, но не появляются функции, описывающие состояния с
двумя или более перевернутыми спинами. Этого удобного свойства обменного
гамильтониана не существовало бы, если бы мы включили в гамильтониан
анизотропные взаимодействия. Таким образом, гамильтониан SB может быть
диагонализован в пределах iV-мерного подпространства функций (40).
Если мы допустим наличие трансляционной инвариантности (и периодических
граничных условий), то энергия сразу же диаго-нализуется введением
плоских волн
^ ^^2 е,к'%м (41)
и собственные значения энергии становятся равными
<к|$?|к> = Я(к) = ?0+Йю(к), (42)
где Е-п и Й0)(к) определены точно так же, как и в предыдущем
разделе [см. (12) и (16)1. Это именно тот результат, который мы
бы
получили в приближении гармоническими осцилляторами изотропного
гамильтониана, если положили бы пк = 1, а все другие пк¦ = 0 [ср. (14)1.
184 в. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
ДВУХМАГНОННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
Мы установили, что основное состояние ферромагнетика и одно-магнонные
собственные состояния имеют точно такие энергии, какие были предсказаны в
приближении линеаризованных гармонических осцилляторов. Это выглядит
весьма обнадеживающе, однако, учитывая предыдущее полуклассическое
рассмотрение, не совсем неожиданно. Можно даже попытаться предсказать,
что состояние с двумя или более магнонамп (плоскими волнами) есть
приближенные собственные состояния с ошибкой порядка не более 1/N. Но это
предсказание, как мы увидим, изучая двухмагнонные состояния, правильно
только частично. Хотя большинство двух-магнонных состояний испытывает
совсем незначительное изменение из-за рассеяния с пренебрежимо малым
сдвигом энергии (что можно приписать нелинейным поправкам к приближению
гармоническими осцилляторами), однако появляется некоторое число
связанных состояний. Учитывая наше предыдущее рассмотрение, они абсолютно
неожиданны, но имеют огромное значение, когда картина спиновых волн
портится где-то вблизи температуры Кюри. К счастью, двухмагнонная задача
может быть точно решена при любом числе измерений и для любой величины
спинов s, так что относительная важность этих связанных состояний может
быть оценена в различных условиях [4, 5]. Первый современный подход к
трехмерной задаче содержится лишь в последней неопубликованной работе
Хануса, хотя одномерная задача была решена еще на поколение раньше, в
работе Бете и Хульте-на, которую мы детально разберем в дальнейшем.
Введем специальное обозначение для волновых функций (состояний), имея в
виду развить качественные соображения о несущественности нелинейности при
длинных волнах. Последнее будет следовать из точного анализа, который мы
проведем, обращая особое внимание на связанные состояния.
Пусть нормированные состояния с двумя перевернутыми спинами описываются
волновыми функциями
^=с1;ад|0) = фл. (43)
Для s > 1/2 этот ортонормированный набор содержит г12Ы (N -f 1) функций.
Для s = 1/2 отсутствие функций типа фгг сводит их число до ll2N (N - 1).
В любом случае N из всех этих волновых функций и соответствующие им
значения энергии могут быть найдены без дальнейших вычислений; для этого
используются недавно выведенные результаты. Чтобы понять это, рассмотрим
состояния
ДВУХМАГНОННЫЕ И СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
185
с двумя плоскими волнами:
Tjjtk. = с 2 e'<k R'+k Фи - Фк'Ю (^4)
г, j
где С - соответствующая нормировочная постоянная. При к = О это совпадает
