Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
{щ I Pi Ys I m ~ 1) =- (щ H-11 Pi ^s I щ)* = - ~ i YYi + 1) 2s, (8)
''rajs - 1) nY/ = s~ni.
S^QiY's, S'{ = Pt Ys, Sl = s-±(Pi + Ql-1) (9)
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ КАК ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ 177
и в соответствии с приведенными выше указаниями систематически
отбрасываем члены третьего и четвертого порядка. Получается
"линеаризованный" гамильтониан (линеаризованными при этом становятся
уравнения движения, а сам гамильтониан, конечно, квадратичен):
с$?лин = Е0 -j- g\iB (Я + Я0) у (Р\ Qi - 1) -
-/"2 [PiPj + QiQj),
(10)
ближ.
соседи
где
Я п =
Jsz
SV-B
(И)
(z- это число ближайших соседей любого спина) совпадает с молекулярным
полем - величиной, которая вводится в приближении молекулярного поля (см.
гл. 8). Постоянная
Е0 = - NHg\LBs - у NzJs2
(12)
есть энергия полностью насыщенного состояния, в котором все спины
параллельны приложенному полю.
Линеаризованный гамильтониан явно похож на гамильтониан колебаний
решетки, включающий только взаимодействие между соседними гармоническими
осцилляторами. Важное различие возникает из-за наличия сил, зависящих от
скорости PiPj, за счет которых можно объяснить разницу между спектрами
спиновых и упругих волн.
Теперь мы сделаем фурье-преобразование
loi
заметим, что
й = 9-к"т.д. (13)
и
[Pi, Q^\ = ~,
где kx,y,z - целые числа, умноженные на 2п/Ь (рассматривается куб объема
L3 = Na3). Дальнейшее обсуждение этого вопроса см. на стр. 202, после
уравнения (104). Это преобразование диаго-
12 д. Маттис
178 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
нализует "линеаризованный" гамильтониан, и мы находим SSЛШ1 = 2 ~2 к т
QkQk - 1) fr(r) (к) + пк^|Ш (^) Т" 7?0. (14)
к к
Можно проверить, что все гармонические операторы Рк, Qк- и т. д..
относящиеся к различным импульсам, коммутируют, и, следовательно, мы
имеем N новых осцилляторов, не взаимодействующих друг с другом в
рассматриваемом приближении; для каждого из них оператор
пк = 4(Р?Рк-ЬДО?к-1) (15)
имеет собственные значения = 0, 1, 2, .... К счастью, вовсе нет
необходимости в том, чтобы каждое из этих собственных значений
ограничивалось областью s; для применимости методики линеаризации просто
достаточно, чтобы 2лк Ns.
Что ?ке касается энергии плоских волн - магнонов, то
(16)
Суммирование производится по всем векторам 6, связывающим каждый спин с z
ближайшими соседями, с которыми он взаимодействует. Не удивительно, что
это точно согласуется с частотами, выведенными предварительно с помощью
полуклассических уравнений движения, так как действительно все, что до
сих пор было достигнуто, есть не что иное, как квантование простого
волнового движения.
Теперь включим дипольное взаимодействие, чтобы посмотреть, каково его
влияние на энергетический спектр магнонов. Вводя направляющие косинусы а,
Р и у вектора, соединяющего спины i и /,
7^-=("i7. Ры. Чи)> (I7)
гч
находим три вклада в дипольнуго часть гамильтониана (2), если исключим
члены третьего и более высокого порядка, всегда исключаемые в
линеаризованной теории:
^,o = 4-s22 2Z)4(l-3Yii). (18)
г ;
Зёв., 1= - 3s3/'-2 Dij {aijYijQj + fiijYijPj), (19)
i j
Л.2-1'2 2 К1-3"b)QiQj-(QiPj + PiQj) +
+ (l-3pb)W-(1-3YW (" + "-!)]. (20)
fica (k) Iig\iB^-Js (1 - cosk-6). 6
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ КАК ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ 179
Для настоящего обсуждения удобнее представить себе, что наш ферромагнетик
(с решеткой кубической симметрии) имеет форму эллирсоида с одной из
главных осей в направлении оси z. Выписанный выше член нулевого порядка
легко выражается через классический размагничивающий фактор N z
Nz = a*%±-(l~Zyt)+^, (21)
7 iJ
причем аир заменяют у при аналогичном определении Nx и Nу.
Сумма в (21) не зависит от г,-, если эта точка лежит внутри кристалла, и
мы можем выразить дипольное распределение нулевого порядка с помощью
размагничивающего фактора, введя
Ма = = Намагниченность насыщения единицы объема; (22)
здесь а3 - объем, приходящийся на спин. В результате находим
$0а, о = -\УМо [ ^ М0 - NzMa] . (23)
Выражение в скобках есть сумма поля Лоренца (4я/3) М0 и размагничивающего
поля - NZM0 (которое однородно в магнетиках эллипсоидальной формы) и,
следовательно, есть "эффективное поле", действующее внутри кристалла; V =
Na? - полный объем.
Помимо этого постоянного члена и константы Е0, в обменном гамильтониане
(10) имеются нетривиальные динамические члены a№d,i и которые вместе с
приведенным выражением
имеют вид
т = 2 {VijPiPj + WtjQiQj + UtjPiQi) -
г, j
- 3sV2 2 [(2 Dliтли) Qj + (S Diifrm) P}]; (24)
j i i
величинами Vtj, Wtj и Utj схематически обозначены коэффициенты в
выражениях (10) и (20). Линейные члены можно полностью исключить с
помощью канонического преобразования
Pi-^Pi + fi и Qi-^Qi+gi, (25)
гДе fi, Si - соответствующим образом определенные константы. Оказывается,
что ряд теории возмущений сходится и с этими линейными членами с учетом
сдвига энергии основного состояния. Последний можно вычислить,
рассматривая $вл,\ с помощью теории возмущений во втором порядке, и он
