Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
будет рассмотрен лишь гамильтониан Гейзенберга, где в операторе
взаимодействия мы учтем лишь только ближайших соседей. Это ограничивает
применимость полученных результатов изоляторами.
Когда радиус взаимодействия становится большим, а величины спинов
перестают быть постоянными и флуктуируют вследствие электронных
возбуждений (так обстоит дело в металлах), необходим бывает несколько
иной подход. Эта проблема рассматривается в следующей главе.
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ КАК ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ J)
Различие между аппроксимацией спиновых волн функциями гармонических
осцилляторов и описанием, "основанным на операторах рождения и
уничтожения, - вопрос в значительной степени чисто семантический, но тем
не менее эта аппроксимация, вероятно, полезна тем читателям, которые
привыкли к гармоническим осцилляторам больше, чем к технике
квантовомеханнче-ской теории поля" |1].
Для конкретности допустим (на этот раз), что имеется ферромагнетик,
описываемый гамильтонианом Гейзенберга со взаимодействием между
ближайшими соседями. Ферромагнетик помещен во внешнее однородное
магнитное поле Н
/> 0, (1)
J 2S s"-s,- Hg^si
г>? = ближ. г
соседи
где
S; ¦ S; = S'SX S'lS'j - S\S) = 1 (StS j -f SjSi) -f SIS].
Помимо выписанного здесь изотропного взаимодействия, мы можем
рассматривать анизотропное взаимодействие различного происхождения.
Взаимодействие наинизшего порядка
lw" '"ij'Sr' Sj 3 (Si-Tij) (Sj-Tij)
Y Zj zj Du rfj ' ( >
i j
где
Dij = gVW, (3)
') Этот параграф основан на статье Кранендонка и Ван-Флека [1].
СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ КАК ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ 175
представляет собой магнитное диполь-дипольное взаимодействие
(магнитостатический потенциал каждого спина в магнитном поле других
спинов). Но в Dij могут быть дополнительные слагаемые, главным образом
возникающие за счет спин-орбитального взаимодействия 12]. Они, как и силы
обмена, короткодействующие и не столь существенны в кубических
кристаллах, как магнитостатическое взаимодействие с большим радиусом
действия, даже если последнее и слабое. Для конкретности ограничим наше
рассмотрение кубическими кристаллами с анизотропным взаимодействием,
описываемым оператором (2), когда Dtj имеет вид (3).
В гл. 3, посвященной моменту количества движения, мы показали, насколько
точно можно построить представления спиновых операторов с помощью
операторов гармонических осцилляторов, в частности мы ввели представление
Холстейна - Примакова и получили приближенное выражение для этого
представления. Рассмотрим его теперь с новой точки зрения. Сначала
определим спины тремя неисчезающими матричными элементами
(rii | S\ | rii) = s-rii, 0<re;<2s.
Квантовые числа других спинов (rij) в это выражение не входят, потому что
компоненты оператора S; не могут их изменить, но все числа заполнений п{,
п2, . . ., ns должны указываться при определении состояния N спинов, и,
следовательно, если все спины имеют одинаковую величину s, то существует
точно (2s -\- l)v состояний. Заметим, что с точностью до постоянной s
квантовое число nt есть просто собственное значение S'*, а выражения (4)
- просто обычное представление момента количества движения (см. гл. 3).
Матричные элементы операторов гармонического осциллятора имеют структуру,
очень похожую на представленную выше. Так, если мы обозначим интегралы
где (х) - это п-я собственная функция гармонического осциллятора с
помощью дираковских скобок (п | (Оп) | гп), то для матричных элементов
очень важных операторов, а именно оператора координаты Xi и оператора
импульса pt, мы получим следую-
176 6. МАГНОНЫ: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН В ИЗОЛЯТОРАХ
щие хорошо известные формулы:
(щ | pi | nt -f 1) = (rii -f 11 pi | щ)* = - i j/(ni + 1),
а квантовое число nt может также определяться как собственное значение
оператора, только теперь оператора энергии
Связь между гармоническим осциллятором и спином удобно установить с
помощью безразмерных канонических переменных Р, Q, определенных так:
Эти соотношения очень похожи на выражения (4) при малых значениях nt.
Заметим, что для значений п-, я" s приближение с помощью гармонических
осцилляторов становится количественно неправильным, хотя матричная
структура качественно еще похожа на правильную. Ошибка, однако,
становится катастрофичной в том случае, когда какое-пибудь значение пг
равно или превышает 2s, так ка.к, хотя соотношения (8) продолжают
определять матричные элементы для гармонических осцилляторов, момент
количества движения не может иметь соответствующих состояний. Следует
понимать, что теория, которая будет развита на основе тождества между
спинами и гармоническими осцилляторами, будет справедлива только для
малых чисел заполнения каждого гармонического осциллятора. Эго вполне
обоснованный шаг, если оставаться в рамках линейного приближения,
используемого в дальнейшем.
В гамильтониане (1) мы теперь делаем подстановку
(6)
В этих терминах
{щ I Qi \fs I tii + 1) = (Hi 11 Qi Ys I nti* = Y YYi -{-1) 2s,
