Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
УРАВНЕНИЯ БРАУНА
169
магнитостатический потенциал ф
(Нх, Ну, 0) -- Уф
(42)
и две частоты
tOi = -у (Hz~ NZMS), 0)s = 4яуМв.
(43)
Дифференцируя уравнения (40) для Мх и Му по г и у, находим
Для получения уравнения Уокера используется уравнение непрерывности
должны быть непрерывными на поверхности, что определит спектр собственных
значений х(со).
Довольно общее решение этих уравнений детально разбирается в недавнем
обзоре Уокера [4].
УРАВНЕНИЯ БРАУНА
Недостатком теории спиновых волн при применении к техническим материалам
является предположение относительно пространственной однородности,
которое не всегда выполняется. Конкуренция между энергией обмена,
магпитостатической энергией, энергией магнитной анизотропии, а также
взаимодействие между приложенным полем и магнитными примесями - вот что
определяет равновесную конфигурацию. Спиновые волны - это просто
нормальные моды колебаний относительно равновесного состояния, которое
может быть весьма сложным. Например, наличке равновесной доменной
структуры есть причина того, почему ферромагнитные материалы не всегда
обнаруживают во внешнем мире свою намагниченность. При прикосновении
куска железа к магниту в нем возникает магнитный момент просто потому,
что векторы намагниченности магнитных доменов, которые уже имелись в
железе, выстраиваются параллельно. Основные размеры доменов, форма и
толщина стенок домена, влияние химических
(44)
где
(45)
(46)
внутри материала, и
У2ф = 0
вне его. Граничные условия таковы, что
Вl и ф
(47)
170
5. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
и физических неоднородностей п примесей - таковы лишь некоторые
интересные области изучения, которые не вошли в наше введение 1).
Здесь мы исследуем несколько основных нелинейных уравнений, которые, как
оказалось, имеют чрезвычайно сложные и разнообразные решения. Вполне
вероятно, что в конце концов они объяснят квазистатические свойства
ферромагнитных материалов при помощи квантовой теории, выясняющей
значения некоторых параметров.
Мы будем излагать материал в соответствии с недавно появившейся статьей
Штрикмана и Тревса [5], к которой читателю следует обратиться, чтобы
получить более детальные сведения, а также ознакомиться со списком
литературы. Энергия обмена в длинноволновом приближении есть Ех
EX = D\ [(Vk*)2 + (Vy")s + (Vyz)2] dr, (48)
где
M = vMs, |М| = Л/, (49)
определяет v - единичный вектор в направлении локальной намагниченности.
Поскольку Ех = 0, когда v = const, сравнивая уравнения (10) и (1), можно
вывести
D " 4 2 А <5°)
i
хотя для наших целей в такой оценке нет необходимости. Собственная
магнитостатическая энергия Ет равна
= (51)
причем учет уравнения непрерывности, как и в предыдущем разделе, дает
V ¦ (Н' + 4лМ) = V Н' + 4яЛ/.V ¦ v = 0. (52)
Энергия магнитной анизотропии Eh
Eh = ^ со (v) dr (53)
есть результат сппн-орбитального взаимодействия и симметрии
внутрикристаллпческого поля, воздействующего на электронные орбиты; со
(v) может быть представлена в виде функции
co(v)=tf (l - i-l), (54)
0 Рекомендуем прочесть гл. V книги: Л. Ландау и Е. Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред, М., 1957.- Прим. ред.
УРАВНЕНИЯ БРАУНА
171
которая обеспечивает предпочтительное расположение магнитного момента
вдоль оси z и зависит от величины К. В веществах с кубической симметрией
ш (v) может иметь вид
со (v) = К (v\ + -f v\), (55)
но точную формулу можно получить только с помощью кванто-
вой механики [6].
Последний член есть энергия взаимодействия магнитного момента с внешним
приложенным магнитным полем
Ен= - Л/, J v-Hdx. (56)
Полная энергия Е = Ех -)- Ет Eh + Еи тогда минимизи-
руется путем вариации направляющих косинусов vXt z при условии v2 = 1.
Эта минимизация обеспечит для спиновых волн положительную частоту
(энергию), однако иногда можно получить решения, которые метастабильны
(неустойчивы), если не получено истинной минимальной энергии.
Вариационные уравнения требуют, чтобы вращение вокруг v отсутствовало, т.
е.
vx [2Z)V*v-^- + М,(Н + Н')] =0. (57)
где
йш /5(0 йш йш \
dv ~ I дь-х ' диу ' диг )
Граничные условия на поверхности материала таковы:
УХ-^ = 0. (58)
йп
Совместно с вышеприведенным дифференциальным уравнением они составляют
уравнения Брауна - основу "микромагнотлков".
Эти спаренные нелинейные уравнения должны быть решены
в общем случае численным способом, хотя имеются особые реше-
ния для эллипсоидов, бесконечных цилиндров и т. д. Мы продемонстрируем
наличие большого количества решений этих уравнений.
Найдем решение уравнения (57), сделав смелое предположение о равенстве
нулю величины, стоящей в квадратных скобках в левой части уравнения (57)
-2Z)V2v--g--fMs(H-f H') = *v. (59)
Рассмотрим особый случай: ш = 0, Н = const и к = const. Взяв дивергенцию
от обеих сторон этого уравнения, получаем для ф = V-v
- 2D ?2ф + 4я М]\!р = Хф. (60)
172
5. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
Читатель поймет, что это уравнение, математически идентичное уравнению
