Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
упорядочение лучше всего описывается фазовым множителем
giQ ¦ Rn, где q = A(1i 1, 1). (26)
Вводя этот фазовый множитель, имеющий значение +1 в простой кубической
решетке, мы использовали простоту именно этой частной структуры. Таким
образом, два спиновых вектора вместо (25) можно описать одной формулой
S, = (8Sf, бS4, S'eW-Rt), (27)
допустив, что спины, направленные вверх, находятся в четных узлах, а
спины, направленные вниз,- в нечетных.
Как в только что описанном ферромагнитном случае, требование нормировки
S\ = S2 не влияет на величину S\, если не учитывать бесконечно малых
второго, порядка. Положим S' zz S и рассмотрим уравнения только для Sx ii
S!l. Сначала введем векторы
6S; = (6Si, 6S'{, 0) и Т, = (0, 0, 5e:Q "0, (28)
так что линеаризованные уравнения движения имеют вид
fibSi = 6Si х + S VijTj) - Ti X S Vij&Sj. (29)
i i
Если их объединить обычным образом, они дают [ср. уравнение (22)1
nwSt = ±St + 2 VijSei<i nj), (30)
i
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
167
Из-за наличия фазового множителя коэффициенты этого уравнения, строго
говоря, нельзя считать постоянными и, следовательно, плоская волна не
может быть решением этих уравнений. Если попытаться все же использовать в
качестве решения
Sf ^eik'Ri,
то сразу же найдем добавочные члены, имеющие вид
gi(k+Q) ¦ Я;^ gi(k+7iQ) R;
и т. д. Однако эти члены в действительности повторяются; так, согласно
уравнению (26),
gi(2n)Q-Rj _ gi(2ii+i)Q-Ri = eiQ-Rj (31)
и, следовательно, можно взять решение в виде
St = Ае^-Ы Se^+Q) Ri. (32)
Полезно ввести фурье-образ потенциала взаимодействия Оц\
w(k) = S^-elk'V (33)
;
Подстановка St в виде (32) в уравнение движения (30) и использование
только что данного определения у (к) дает следующее простое решение:
= 8VbH ± S \f[v (к) - v (Q)| [у (k-f-Q) -y(Q)|. (34)
Мы можем предположить, как обычно, что для длинных волн (малые к)
v (k) = v (0) - ск2 -j- О (к4) (35)
и подобным образом вблизи к = Q
У (к) = У (Q) - с' (к -Q)2 + О [(к -Q)4]. (36)
Таким образом, при длинных волнах частота
ЙЫк " g\iBH ± | к | S |/[у (Q) - у (0)] с' (37)
изменяется линейно с волновым вектором, тогда как в ферромагнитном случае
было видно, что она зависит от волнового вектора квадратично. Как мы
увидим, с этим связано существенное различие статистическо-механических
свойств магнитных материалов.
Выражение под квадратным корнем может быть отрицательным, что
соответствует тому, что антиферромагнитное состояние заведомо не будет
устойчивым. В пределах области применимости линейной аппроксимации это
соответствует экспоненциально возрастающим (или убывающим) волнам, что
совсем не похоже на синусоидальные решения, которые мы допускали. Частоты
всегда вещественны, если у (Q) есть абсолютный максимум или у (Q) есть
абсолютный минимум функции у (к). В других случаях частоты могут
становиться мнимыми, но это не обязательно.
168
5. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
Задача 1. Магнитную анизотропию можно описывать при помощи эффективного
магнитного поля, которое направлено вверх для спинов А и вниз для спинов
В. Это достигается добавлением к приложенному полю Ы члена Яаниз х exp I
Q • R;. Покажите, что тогда решение линеаризованных уравнении движения
имеет вид
naii=g\iBH ± V (k)-Sv(Q)-gjiB//A][Sv(k+Q)-.S'v (Q)-ff|xfl//A].
Задача 2. Ферримагнетизм в определенном грубом приближении можно считать
особым случаем антиферромагнетизма, в котором спины В имеют величину Sjj,
отличную от величины SA спинов А. Каковы их уравнения движения? Покажите,
что в пределе длинных волн частота зависит от к не линейно, как в
антпферромагпетпках [уравнение (37)], а квадратично, как в
ферромагнетиках [уравнение (10)] [1].
МАГНИТОСТАТНЧЕСКИЕ МОДЫ
Уравнение собственных значений магнптостатических мод эллипсоидального
ферромагнетика впервые вывел Уокер [2]. Точка зрения, которая здесь будет
принята, диаметрально противоположна всему тому, что полагалось в
предыдущих разделах, и, по сути дела, всему тому, что будет излагаться
вообще во всей книге, ибо в этом разделе мы полностью пренебрегаем
обменным взаимодействием. Это оправдывается, если в интересующем нас
интервале длин волн изменение энергии за счет обмена бесконечно мало.
Пусть
М = {Mx,Mg,Mt) (38)
и
?[ = (//*, Ну, HZ - NZMS), (39)
где М3 - намагниченность насыщения, a Nz - размагничивающий фактор в
направлении z, выбранном вдоль одной из главных осей. Член NZMS учитывает
магнитостатические диполь-дипольные взаимодействия. В образцах
произвольной формы и состава размагничивающий фактор - это тензор N-,j
(г). Шлёманн [31 доказал интересную теорему: (г) = 4л, когда г находится
г
внутри тела, п равна нулю, когда г - вне его. В случаях простой симметрии
(сфера, диск, длинный цилиндр) это очевидно; так, например, для сферы Ni{
= N22 = Nзз = 4л/3. Уравнение движения для магнитного момента
МхН (40)
(где у - магнитомеханическое отношение - g\iBlh = ge/2mc) и уравнение
непрерывности
Т.(Н + 4яМ) = 0 (41)
разрешимы, если принять, что (Мх, Му) = - со*{МХ, Му). Вводится
