Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
к, если взаимодействие V;j быстро ослабевает с расстоянием
to (к) " 4- + Ь'Л + О (к4)]. (10)
j
ДВЕ ПОДРЕШЕТКИ, НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
Другой просто решаемый пример вводит понятие двух подрвше-ток в
антиферромагнетике. Допустим для конкретности, что имеется простая
кубическая решетка, в которой спины через один составляют подрешетку А.
Соседи этих спинов, следовательно, составляют подрешетку В; все это очень
похоже на белые и черные квадратики на шахматной доске. Теперь решим
уравнения движения для такой системы при следующем ограничении: все спины
А первоначально параллельны, все спины В первона-
11*
164
5. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
чально параллельны, а ориентация спинов А относительно спинов В
произвольна.
Очевидно, что при таком начальном условии, когда спины А все
первоначально параллельны, нельзя заставить один спин А вращаться вокруг
другого так, чтобы они оставались постоянно параллельными; это же
относится и к спинам В. Таким образом, нам нужно рассмотреть уравнение
движения некоторого типичного спина S; из подрешетки А и некоторого
типичного спина S, из подрешетки В. Вводя взаимодействие
V = J] Vij (t из А и из В),
= 2 vJi U из В и i из А),
i
находим
TiS; = Sj х + FSy) =Sj X (g[iBH) -j- -у- (Sj - Sj) x (Sj -f- Sj) (12) и
nSj = S, X (g^H) - 2- (Si - Sj) x (S, + S;). (13)
Вычитая второе уравнение из первого, получаем
= х [^BH + F(Si + S,)]. (14)
Складывая их [ср. уравнение (3)], получаем
п A (Si.+ S;) = (Si + S,) X (enBH). (15)
Последнее уравнение решается подстановкой
S;+S; = (a cos со/, -a sin cof, b) (16)
при
7ico = |gpBH|. (17)
Это решение подставляется в уравнение для S; - S,. Однако последнее
неожиданно трудно решить за исключением особых случаев
а = 0 или со = 0, (18)
и мы не будем пытаться найти решение в общем случае, а только при одном
из этих ограничений. В этом случае мы можем попытаться решить уравнение
тем же приемом, что и выше, взяв разность S; - Sj в виде
Si - S; = (a'cosQf, -a'sinQf, b') (19)
при
na = \g\iBn + V(St + Sj)\; (20)
компоненты вектора S; - S, в уравнении (19) выражены в новой системе
координат, выбранной так, чтобы направление z лежало
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
165
вдоль вектора g[гв11 -)- V (S,- + S,). Дан;е при упрощениях (а или ш = 0)
имеется целая область частот от Q = О до максимальной, когда Sj и Sj
параллельны II. Это поведение типично для нелинейных систем.
ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
Нелинейные уравнения движения почти невозможно решить для трех или более
взаимодействующих спинов, поэтому обычно допускают существование
равновесной конфигурации, в которой все спины находятся в покое, а
уравнения составляют для движения с малой амплитудой относительно
принятого равновесного состояния.
Если считать, что ось z совпадает с направлением магнитного поля или
каким-то произвольным (но фиксированным) направлением при отсутствии
такого поля, то ясно, что за исключением, возможно, нескольких необычных
конфигураций единственная устойчивая равновесная конфигурация
соответствует тому, что каждый спин либо параллелен, либо антипараллелен
этому направлению1). Тогда и круговое вращение каждого спина отсутствует,
и равновесная ситуация сохраняется.
Особенно важным примером этого служит ферромагнитное состояние, когда все
спины параллельны. Если мы допустим, что
65Г(/), S') (21)
и что 5Sj, 8S'i по своей природе бесконечно малы, то S' = S -f
-f О (82S). Бесконечно малыми второго порядка в уравне-
ниях движения можно пренебречь, в результате S", х S' х S = = const в
пределах этого приближения. Необходимо только исследовать уравнения для
поперечных компонент. Как мы уже видели, S± = 8SX ± i8Su - это удобная
комбинация, и мы находим непосредственно
¦hSf = ± iSr + 3 vuS) TiSYi uijSf. (22)
j j
Это уравнение имеет решения
^i± = S^e±i<"k'"kRi) (23)
k
с малыми, но в остальном произвольными амплитудами Фурье Sk и Пак = &в//
+ Я V ci;(l-eikrO). (24)
J
J) В последние годы обнаружены магнетпкн со сложной структурой основного
состояния (подробности см. в кнпге В. А. Турова, Физические свойства
магнитно-упорядоченных кристаллов, М., 1963).- Прим. ред.
166
5. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
Приведенное решение аналогично точному решению для одной спиновой волны,
но позволяет находить другие решения, пользуясь принципом суперпозиции,
что является естественным следствием линейного приближения. Например,
даст возможность удовлетворять произвольным начальным условиям.
Вторым важным примером, позволяющим применить линеаризацию, является
антиферромагнетизм. Для простоты допустим, что имеется простая кубическая
решетка, в которой антиферро-магнитное (неелевское) состояние устойчиво.
Мы вспомним, что в антиферромагнитном состоянии спины через один
направлены вверх, а спины окружающих их ближайших соседей направлены
вниз, т. е.
St = (8S?(0, bS'iit), S'), S; = (6SJ(0, 6S'j{t), -S') (25)
при t из Л-подрешетки, а при j - из .B-подрешетки. Антифер-ромагнитное
