Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
из функций Паули с определенным значением М, если оставить только
пространственно сопряженную функцию
¦V(r,.....г,/яА-+"! ..., г*). (87)
НЕЗАВИСИМЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ
147
которая для невзаимодействующих частиц есть произведение двух
детерминантов. Поскольку одноэлектронная функция в каждом детерминанте
может оказаться только один раз, то самая низкая энергия соответствует
функции этого типа, если самые низкие из возможных еп представлены
дважды:
°F =
= . /-1 ¦ Det Ц /1 (г4) . . . ji/lN (ri/2jv) || Det || /, (ri/2i\+i) .
. . /i/z.v {rN) |].
(тл')! (88)
Это автоматически приводит к тому, что наинизшее собственное состояние
соответствует М = Ос энергией, равной
1/2ЛГ
Е0 = 2 2 еп. (89)
П~ 1
Множитель 2 в конечном счете связан с вырождением Крамерса, Выбранная
таким образом функция °F обладает также тем важным свойством, что она
является собственной функцией оператора Злели с нулевым собственным
значением (ср. стр. 126). Следовательно, ее нужно обозначить °F°,
согласно ранее введенным обозначениям. Это, безусловно, основное
состояние, если нет вырождения. В последнем случае оно находится среди
основных состояний.
Если затем мы заинтересуемся основным состоянием в подпространстве М = 1,
то должны сперва исключить состояние °F°, которое не может быть
использовано. Но по причинам, схожим с указанными выше, оптимальный
второй выбор имеет вид
1Е = г - ! . , Det II /1 (rl) ¦ ¦ ¦ Лллг-И (rV2N+l) II х
/(т'+'Мт'-О1
X Det || /, (г1/г^_(_2) . . . /i/2/v-i (rjv) ||. (90)
Энергия этого состояния приведена ниже [см. (91)1. Теперь, используя эту
новую функцию, легко построить функции типа nF и -1/\ но функции типа
±2F, которые мы попытались бы построить из 1F и ее перестановок,
тождественно обращаются в нуль. Это доказывает, что мы нашли 1Е1 -
собственную функцию •^полн с указанным собственным значением. Энергия Et
Ei = E0~>r ei/2jv-t-i-gi/2n^>E0 (91)
есть наименьшая энергия, т. е. энергия основного состояния в
подпространстве собственных функций, принадлежащих к 5полн>1, хотя она
больше Е0.
10*
148
4. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Изучая систематически все подпространства, всегда устанавливаем:
наинизшая энергия из функций типа MF в действительности есть мрм-
следующий отсюда результат для энергии может быть сформулирован более
компактно
E0(S)^E0(S-f-1), (92)
причем Е0 (S) - наименьшая энергия среди всех собственных значений
энергий Е (S), соответствующая детерминантным функциям или их линейным
комбинациям MFS.
Остановимся на случае возможного вырождения. Если h (г) - вещественный
оператор, а одна из fn - комплексная функция, то с помощью комплексного
сопряжения обеих сторон (85) мы увидим, что f* - также собственная
функция с тем же собственным значением еп. Это единственное вырождение,
которое возможно всегда. Рассмотрим пустой ящик с размерами Lx х Lv х L
г. Гамильтониан
Mr)=-?V" (93)
(только кинетическая энергия) имеет собственными функциями е1к'г и
собственными значениями
* = <94>
Мы видим, что если Lx=?Ly=j=Lz, то в действительности дополнительного
вырождения нет, так что при наличии потенциалов любое дополнительное
вырождение было бы "случайным" и может быть исключено, если немного
перекосить ящик или прибегнуть к какому-то другому приему.
Для удобства N выбирается так, чтобы оно было кратным 4; это дает
гарантию, что энергия Е0 не будет вырожденной. Поскольку
ei/2N+i>ei/"N, то, следовательно, Ех > Е0. (95)
Важно отметить, что собственная функция °F° (88) вещественна; для этого
требуется необходимое и достаточное условие: в основном состоянии в
каждом детерминанте вместе с комплексной /" присутствует и сопряженная
f*. Более убедителен следующий аргумент: комплексная °F° приведет к
вырожденному основному состоянию, что противоречит соотношению (95).
Полный оператор тока есть
N
|^2^-=10п, (96)
ТЕОРЕМА ОБ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОНОВ
в I - его собственное значение в основном состоянии
Ion°F° = 1°Е°. (97)
Если записать уравнение, комплексно сопряженное уравнению (97), и учесть,
что собственное значение I и собственная функция °F° вещественны, то мы
придем к результату: 1 = 0, независимо от вида потенциала. Таким образом,
и ток, и спин в основном состоянии равны нулю, и система полностью
немагнитна. Это квантовое обобщение теоремы Бора - Ван Лёвен.
"... Никто не мог сдвинуться ни вправо, пи влево, чтобы уступить дорогу
встречному, и ясно, что ни один лайнлендер не мог миновать другого.
Однажды став соседями, они оставались соседями навсегда. У них соседство
было подобно нашему браку. Соседи оставались соседями, пока смерть не
разлучала их..."
Аббот, "Флэтленд"!)
ТЕОРЕМА ОБ ОДНОМЕРНОЙ СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОНОВ
Поскольку электроны в одном измерении могут быть расположены в виде
точек, топология их узловых поверхностей оказывается относительно
простой. Можно обобщить результаты, найденные для двух электронов, и
доказать мощную теорему относительно N электронов в одномерном случае,
содержание-которой, грубо, таково: в одномерном случае система
