Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
ниже вариационной энергии, за исключением того случая, когда точная
собственная функция основного состояния используется как пробная
вариационная волновая функция. Ясно, что
р р _ J S*(rl- r2)^b'(ri, r2)d3rld3r2
г^ося. сост <- ?вар =------------------------------- (40)
Ф \ I S2 I d3rl d3r2
и всегда имеет место строгое неравенство, за исключением случая, когда
пробная функция g (гь г2) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(•# - ?0С". сост) я (п, Г2) = 0 (47)
ТЕОРЕМА ОБ ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ ДВУХ ЭЛЕКТРОНОВ
129
для всех значений rt и г2. Только в этом случае
ОСН. сост-
(48)
Следует рассмотреть только функции g, которые вещественны и либо четные,
либо нечетные при перестановке rj и г2, как и в случае собственных
функций /. Теперь мы можем доказать следующее:
Теорема: Собственная функция основного состояния не имеет узлов,
следовательно, она принадлежит к ^полн = 0- Более того, если V (гь г2)
обладает центральной симметрией, т. е. коммутирует с полным моментом
количества движения, то в основном состоянии и Бполн = 0- Таким образом,
гелий в основном состоянии, например, имеет нулевое значение полного
момента и спина и, следовательно, полностью немагнитен.
Доказательство. Сперва допустим, что собственная функция основного
состояния имеет узлы, т. е. по меньшей мере один раз меняет знак, а затем
покажем, что эта гипотеза приводит к противоречию. Пусть /о - собственная
функция основного состояния с узлами, принадлежащая собственному значению
энергии Еа. По гипотезе Е0 = Еосн. сост-
Рассмотрим функцию, не меняющую знака g0 = | /0 |, т. е. абсолютное
значение /0. Является ли она приемлемой волновой функцией? Если /0
исчезает на бесконечности или квадратично интегрируется, то это же
относится к g0. Независимо от того - нечетная /0 или четная, g0 всегда
четная функция. Поскольку /0 - вещественная функция, то же самое
относится и к g. Следовательно, она действительно удовлетворяет всем
требованиям, предъявляемым к пробной вариационной функции.
Но функция g0 сама по себе не является собственной функцией, так как
вдоль узловой поверхности /о (fi, г2) = 0 у нее имеется разрыв нормальных
производных (фиг. 4.1). Следовательно, применимо строгое неравенство (46)
Евар > Еосн. Сост-
/
Фиг. 4.1. Волновая функция /0 п ее абсолютное значение = | /0 |.
Ось абсцисс соответствует направлению, перпендикулярному ! /о | к узловой
поверхности /о.
9 Д, Маттис
130
4. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Вариационная энергия вычисляется любым из двух методов с одинаковыми
результатами: 1) заметим, что g0 удовлетворяет уравнению Шредингера с
собственным значением Е0 везде, за исключением узловой поверхности.
Поскольку g0 = 0 на этих поверхностях, то вариационная энергия равна
точно Е0; 2) вариационный интеграл в (46) интегрированием по частям может
быть приведен к канонической форме, из которой Шредингер первоначально и
вывел свое волновое уравнение
J [¦?¦(! Vl8°|2+1 V2So|2) + 718012]
Ева? = - , - • (49)
) I go Г a&l "Зг2
Но поскольку повсюду I go I2 = I/о I2, то повсюду I g0 I2 = I/о I2,
точкой над буквой можно обозначить любую производную. [При выводе (-±9)
мы пренебрегли только поверхностными членами на бесконечности, где как
g0, так и /0 исчезают за счет граничных условий.] Непосредственными
подстановками получаем Евар = Е0. Отсюда Е0> Е
ОСН. СОСТ-
Этот результат противоречит гипотезе, что Е0 = Еосн. сост, если /о имеет
узлы, или гипотезе, что /0 имеет узлы, если Е0 = = Еосн. сост- Если же
допустить, что основное состояние волновой функции не содержит узлов, то
ее абсолютное значение с точностью до знака есть та же самая функция, и
эти результаты не содержат противоречия.
Следовательно, основное состояние не вырождено. Ибо если имеется более
чем одна собственная функция, принадлежащая Еосн. сост, предыдущие
аргументы указывают, что каждая из них не должна содержать узлов. Однако
имеется только одна собственная функция оператора SB, не содержащая
узлов, потому что собственные функции гамильтониана образуют полный
ортогональный набор функций, а две функции, не содержащие узлов, не могут
быть ортогональными.
Если задача имеет центральную симметрию, то собственные функции являются
функциями с определенным полным моментом количества движения. Функция, не
содержащая узлов, должна описывать момент, равный нулю, потому что в
противном случае она не ортогональна постоянной функции, равной единице,-
собственной функции полного момента количества движения с нулевым
собственным значением. Что и требовалось доказать.
Задача 5. Докажите справедливость следующего необычного выражения для
энергии основного состояния ?осн. сост и волновой функции основного
состояния /осн. сост атома гелия и молекулы
S e2(l/ri2 -2/rj -2/г2)/оон. сост dgi-j d3r2
F
осн. сост'
J ^осн. сост &3Г2
ПРАВИЛО ХУНДА
Найдите аналогичное выражение для основного состояния в случае N бозонов
[6]. Для основного состояния трех и более фермионов? Атома и молекулы
