Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
антисимметризации приведет к тождественному нулю вместо построения
желаемой функции. Например, если / имеет вид °/° и мы хотим построить
функцию Mf при М Ф О, то вместо этого получим нуль (это то же самое, что
пытаться произвести антисимметризацию симметричной функции).
Для построения функций типа M/s из произвольной функции нет
соответствующего простого правила. Необходимо исключить нежелательные
компоненты, описывающие полный спин, не равный S, путем повторного
применения операторов рождения и уничтожения спина iSnonm сначала
построив Mf при М = ± S. Но в некоторых особых случаях это можно сделать
прямой проверкой, как в следующем примере:
Пример. Волновая функция в виде произведения, описывающая
невзаимодействующие частицы, имеет, как мы видели, применение в
вариационных приближениях. Используем такую пространственную функцию как
основу для примера, в котором мы построим правильные пространственные
функции, соответствующие собственным значениям М и S.
Начиная с произведения
<Pi ('¦i) Ф2 ('¦О ¦ ¦ • Флг ('¦л'). (39>
можно непосредственно написать функцию лг/ в виде произведения двух
детерминантов:
ФД^) Ф1 (^*l) • ¦ Ф1 (ri/2.v-f,w)
Mf = Det Ф2 ('¦l)
Ф1/".\_^Л/ (rl) ¦ ¦ Ф1/2-^+М (rl/2Ar-f-M)
('"l/s-V+M-l-l) ¦¦¦ Ф1/2ГС+М-(-1 (rw)
X Det - (40
Фы(п/8.у+дг+1)
ТЕОРЕМА ОБ ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ ДВУХ ЭЛЕКТРОНОВ 127
Функция Mf явно антисимметрична по двум наборам переменпых. Теперь
допустим что М 0. (Случай М > 0 можно получить простой перестановкой двух
детерминантов.) Таким образом, первый детерминант меньше второго. Если
все функции ф,, ф2, . . фу2,у+м-, которые содержатся в меньшем
детерминанте, содержатся также и в большем, то, согласно правилам (32) и
(33), метод антисимметризации, очевидно, дает нуль и, следовательно,
функция (40) соответствует вполне определенному значению S
S = \M\. (41)
Конечно, предполагается, что не все функции ф^- различны. Когда все
функции различны, построение функции с определенным значением ? возможно,
но более трудоемко. К этому вопросу мы уже не будем более возвращаться. В
каждом детерминанте все функции фдолжны быть различны, в противном
случаем/обращается в нуль. Но они могут появляться в обоих детерминантах,
что представляет собой лишь другое выражение вырождения Крамерса.
Появление фj в первом детерминанте означает, что в орбитали ф;- спин
электрона направлен вверх, а во втором детерминанте - вниз.
Этим заканчивается демонстрация того, как может быть полностью
антисимметризована волновая функция Паули, тогда как пространственные
функции - собственные функции пространственного гамильтониана -¦ могут
иметь сложные перестановочные свойства. Мы показали также, что эти
перестановочные свойства есть следствие правил, которым подчиняются
полный спин и орбитальный момент. Теперь мы перейдем к рассмотрению
особых случаев.
ТЕОРЕМА ОБ ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ ДВУХ ЭЛЕКТРОНОВ!)
Во многих случаях можно показать, что наименьшему собственному значению
дифференциального уравнения соответствует решение без узлов 2). Возникает
вопрос: можно ли доказать что-либо аналогичное в случае многоэлектронной
задачи, и если да, то имеет ли это какое-нибудь отношение к
ферромагнетизму?
На оба эти вопроса можно дать положительный ответ. Исследуем сначала
первый многоэлектронный атом периодической таблицы и найдем, что основное
состояние гелия не содержит узлов. Отсюда можно вывести важные следствия.
У тяжелых атомов как раз наоборот - основное состояние в согласии с
правилами Хунда имеет определенное число узлов. Структура волновой
функции проявляется в спине и моменте количества движения атома в
основном состоянии. Мы обнаруживаем явное противоречие с теоремой,
справедливой для двух частиц. Ниже мы еще
:) См. работу [5].
2) Узлом функции автор считает не обращение ее в нуль, а перемену знака
(см. фиг. 4.1).- Прим. ред.
128 4- МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
вернемся к распространению теоремы на систему JV частиц и к ее очевидному
нарушению в случае трех измерений.
Рассмотрим сначала атомы гелия, незначительно обобщив задачу введением
произвольного потенциала:
^=^r(Pi + P")^' (П, г,). (42)
Принимается, что гамильтониан - вещественный оператор, инвариантный при
перестановке двух (неразличимых) частиц. Собственные функции / (гь г2)
уравнения Шредингера
Mi (П. г2) = ?/(г1, г2), (43)
следовательно, вещественны и либо четные, либо нечетные при перестановке
двух частиц. Поскольку эта задача очень проста, нет необходимости
сопоставлять / с определенными значениями М и S: вспомним просто, что
четное решение должно быть связано с нечетной спиновой функцией
у=- [х+ (SO X- (Sz) - Х+ (Sz) X- (Si)], (44)
принадлежащей к Sn0лн = 0, а нечетное решение - с одной из четных
спиновых функций
IX+(SOX+(Sz)] или (X- (Si) X- (Sz)l
или
1
у 2
(Х+ (Si) X- (Sz) г Х+ (h) X- (SOI. (45)
принадлежащих 5Полн = 4, М = 1, -1 или 0. Тогда произведение есть
настоящая волновая функция Паули. Мы используем
вариационную теорему, гласящую: энергия основного состояния всегда лежит
