Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
; (27)
- M-r - N имеет спин, направленный вниз (-).
Мы можем взять, например, типичную функцию
МХ (Si, ?2, • ¦ ¦ , Sm+I/o.Y | . .., 1к) =
= Х+ (Si) ¦ ¦ ¦ У.+ (S.w+i/s.v) ¦ ¦ • X- (Sw) (28)
и образовать остальные с помощью перестановок. Перестановки между собой
спинов, направленных вверх, не приводят к новым функциям, то же самое
относится к перестановкам спинов, направленных вниз. Мы называем их
тривиальными перестановками спиновой функции мх (Si, • ¦ ¦ I ¦ ¦ Sjv).
Эта функция полностью симметрична по отношению к тривиальным
перестановкам -
5 2-4 4- МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
перестановкам спиновых координат слева от вертикальной черты или спиновых
координат справа от черты.
Однако имеется + М)\ (1/2N - М)\\ = пм нетри-
виальных перестановок, образующих пм ортогональных спиновых функций,
включающих исходную функцию (28), и они составляют полный набор для
разложения мф. Заметим, что число
+V*.v +1/2лг
2 пм-= 2 (1/ v + M)!(i/2^V -М)! =2 (29^
м=- 1/оЛГ ДГ=-l/tN
указывает суммарную размерность всех М подпространств и, естественно,
совпадает с полным числом ортогональных спиновых функций 2N.
Когда ункция мт|з разложена в ряд по этим функциям, коэффициент м% в
разложении должен быть пространственной функцией типа
Mf (rii r'h ¦ • • i | ri/gjv+itf+l ' '' '1 (^0)
которая полностью антисимметрична при тривиальных перестановках координат
между собой слева или справа от черты. В общем случае, однако, она имеет
изложенные выше трансформационные свойства при пЛ1 нетривиальных
перестановках (см. задачу 4).
Задача 4. В случае трех атомов водорода имеются два состояния с М = 1/2"
а именно vZ3 и v23. Выразите нетривиальные перестановки каждого из этих
двух состояний друг через друга, и с помощью частично симметричных
фуНКЦИЙ У2зсимм и У23симм-
Если, кроме того, функция Паули есть собственная функция оператора А'полн
с собственным значением S
Sl0;iliM'?s = S(S + l)M'?s, Sza0Jl*4S = М^Ч!*, (31)
то мы можем определить нетривиальную симметрию пространственной функции
Mfs, используя для этого только простейшие сведения относительно момента
количества движения. Мы производим это систематически, начиная с функции
~s/s, которая представляет собой коэффициент разложения спиновой функции
(28), когда М = - S. Вспомним, что основные свойства момента количества
движения таковы, что | М | и, следовательно, дальнейшее возрастание М
невозможно. В более формальных терминах
Snолн (_s4rS) = 0. (32)
Это тождество требует существования некоего линейного соотношения между
функциями / и их нетривиальными перестановками,
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛНЫХ S' И Вг
125
и, действительно, используя выражения (28), (30) и (32), находим S/S (rli
¦ ¦ • i ri/s.\-S I ri/2x-s+i' ¦ ¦ ¦1
- 2 ^S/S(n VslW'-^-v)-0, (33>
;=V2-V-S+1
где i = 1, 2, . . ., или 1/ZN - S, a cPi;- - операторы транспозиции
координат частиц i и /.
Но это напоминает равенство (18), если рассматривать приведенное выше
уравнение как попытку увеличить число координат справа от вертикальной
черты (когда /-полностью антисимметрична), добавив один член. В
результате получим нуль: ряд справа не может более возрастать, т. е.
черту нельзя сдвинуть влево.
Мы можем построить / функции, принадлежавшие к более высоким значениям М,
используя _s/s, которая правильным образом удовлетворяет приведенному
выше уравнению. Это можно сделать путем повторного применения оператора
рождения полного спина
St0n"'s4s = -S+l4S (ненормирована) (34)
и прямо приводит к
s+1/s (rt, . . . , r1/iN_s+l ] ri/2jv_s+2' • • ¦) =
1/2 N-S
= -s/s- 2 &S.W-B+i-sfs (35)
3=1
при
S/S = SfS ('l' • • • ' ri/2N-S I ri/2N-S+l' * • • )¦ (36)
Такая функция удовлетворяет уравнению (33).
Таким образом, попытка сдвинуть черту вправо - удалась. При дальнейшем
применении оператора рождения спина или правил антисимметризации (18) мы
последовательно образуем функции -s+2/s , . . вплоть до +sfs, все
выраженные в виде линейных комбинаций исходной функции ~sfs и ее
нетривиальных перестановок. И, наконец, правило момента
Stan (+STS) = 0 (37)
дает нам дополнительный ряд ограничений, наложенных на функции, подобные
найденным ранее. Но теперь эти ограничения таковы, что черта не может
быть сдвинута далее вправо:
sfs (rit ¦ - • i ri/2,v+s I " * • • ' rN)
1/2 -v-t-s
2 ^i, ?S/S (ri' ¦ • • > ri/a.v+s I ri/o.\+s+i ' ¦ ¦ ¦ ' rjv) = (r) (33)
3=1
126
4. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
при
g^iV + S-f 1, дг.
Из имеющейся произвольной пространственной функции всегда легко
образовать функцию типа м/, т. е. пространственную пару собственной
функции спина Sполн- Мы просто применим правила (18) и произведем
антисимметризацию первых р = 1/2N -f- М координат, затем произведем
антисимметризацию оставшихся координат. При этом методе применяются
только такие перестановки, которые мы обозначили как "тривиальные",
причем остальные используются, как мы уже видели, чтобы порождать или
уничтожать значения М. Если по каким-либо причинам f не подходит, процесс
