Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
энергии, связанное с параллельностью спинов, перевешивает благоприятное
понижение потенциальной энергии, как, например, в случае атома гелия или
в молекуле водорода.
В таких редких случаях, как, скажем, металлическое железо, большое число
параллельных спинов дает ферромагнетизм, ибо увеличение кинетической
энергии не столь велико, как в других металлах, а уменьшение
потенциальной энергии значительно.
Итак, мы рассматриваем такие силы, как электростатические кулоновы силы,
а не значительно более слабые силы взаимодействия токов Ампера или
магнитных диполей. Эти электростатические силы определяют конфигурации
спинов в атомах, молекулах я твердых телах согласно принципу Паули, так
что при построении основ теории магнетизма можно до известной степени
игнорировать соответствующие магнитные поля. (Хорошо, что причина и
следствие могут быть так четко разделены.)
Необходимо несколько забежать вперед и позаимствовать материал из
следующей главы, введя три обычных "оператора перестановок, названных
соответственно по имени Майорана,
ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
55
Бартлетта и Гейнзенберга [3] *):
3м)
} М3 ir1^1> г2^г! ¦ ¦ •) - ]
сГ*н J
Здесь г j, г2 - пространственные, а ?1( ?2- спиновые координаты двух
электронов. Естественно, что
а позднее мы увидим, что при допустимых для электронов волновых функциях
оператор 3й всегда имеет собственное значение, равное -1, так что
операторы 3Л1 и Зв обратны по отношению друг к другу. Построим простейший
из них Зв из имеющихся в нашем распоряжении операторов спина 1/2. Он
должен быть инвариантен по отношению к вращению (не имеющего физического
смысла) в пространстве спина и имеет собственное значение +1 в триплетном
состоянии и -1 в синглетном состоянии. Эти требования приводят, в конце
концов, к однозначному выбору оператора Зв в виде
Допустив, что энергия -/12 связана с обменом, мы приходим к эффективному
гамильтониану ~ -/12S!-S2 (опуская не интересующую нас постоянную часть).
Интересно также отметить, что точно такой же эффективный гамильтониан был
постулирован в "векторной" модели атома до создания волновой механики, и
фактически этот результат является полуэмпирическим правилом. Позднее мы
увидим, как это согласуется с правилом Хунда для атомной структуры. В
настоящей главе мы более заинтересованы в качественном понимании значения
обмена, границ его применимости и успешности его использования для
создания основ теории магнетизма.
В работе Дирака, Гейзенберга и других, и особенно в книге Ван-Флека [5],
впервые было сконцентрировано внимание на элементарном взаимодействии,
описываемом выражением типа (1), как основном объекте исследования в
теории магнетизма. Можно предположить, что в этом кроется причина того,
что гейзенберговский обменный гамильтониан (называемый еще векторной
моделью, или гамильтонианом Гейзенберга - Дирака - Ван-Флека)
Зв = -J- (1 + 4S, -S,).
(1)
(2)
1) Обратите внимание, что оператор .фв был предложен Дираком [4].
56
2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
привлекал внимание многих теоретиков на протяжении целого поколения. Они
вычисляли его энергетические уровни и собственные функции и всю
статистическую механику, которая следует из него. Не меньшие усилия были
потрачены на вычисление величины обменных постоянных Jtj из
микроскопических соображений.
Но несмотря на все эти усилия, а возможно, именно в результате того, что
они позволили открыть, обменное взаимодействие нельзя возвести в ранг
основных законов, т. е. считать его силой природы, подобно закону Кулона
или закону всемирного тяготения. Так, несмотря на то что объяснение
правила Хунда с помощью векторной модели было одним из первых достижений
этой теории, оказалось, что идеализированный гамильтониан (см. [2]) в
сложных атомах точен только полуколичественно. а более точный
гамильтониан следует вычислять в лучшем приближении, чем то, в котором
определяется обмен. И вообще корреляция электронов и другие эффекты, не
связанные непосредственно с принципом Паули, затемняют первоначальную
наивную картину.
Даже сегодня на пути тех исследователей, которые выводят выражение (2) из
основных законов, встает множество трудностей, и практических и
теоретических. Это будет ясно показано не только в этой главе, но и в
ряде последующих глав. Как когда-то писал Лонгфелло: "Так поступает с
нами природа и отбирает
у нас одну игрушку за другой".
ОБМЕН КАК СЛЕДСТВИЕ ПЕРЕКРЫТИЯ
Чтобы появился обмен, пути взаимодействующих электронов должны неминуемо
перекрываться самым запутанным образом. Докажем это с помощью модели, в
которой местоположение электронов ограничивается неперекрывающимися
пространственными областями [6]. Рассмотрим N произвольно
взаимодействующих электронов и разделим пространство координат на N
различных ящиков так, чтобы электрон 1 относился к ящику 1, электрон 2 -
к ящику 2 и т. д. Тогда волновая функция должна подчиняться граничному
условию - она должна обращаться в нуль на поверхности, ограничивающей
