Теория магнетизма - Маттис Д.
Скачать (прямая ссылка):
и сверхпроводимости в одно- и двумерном случаях. Мы обнаружили, что
применение неравенства Боголюбова приводит к поразительно простому, но
строгому доказательству того, что одно- и двумерная изотропные модели
Гейзенберга с конечным радиусом взаимодействия не могут привести ни к
ферромагнитному, ни к антиферромагнитному упорядочению при температуре,
отличной от нуля. О таком выводе можно было догадываться уже раньше на
основании вычислений с помощью спектра элементарных возбуждений над
упорядоченным состоянием1), а также на основании рассмотрения доменных
стенок [7, 8]. Учитывая проводимое в настоящее время интенсивное изучение
критических точек, стоит обратить внимание, что эти вполне правдоподобные
результаты можно доказать строго 2).
Мы докажем, что в изотропной гейзенберговской модели с взаимодействием
конечного радиуса нет спонтанной намагниченности
J) Блох [6] рассматривал только ферромагнитный случай, но, несмотря на
некоторые противоположные предположения (см. настоящую книгу, стр. 317),
его анализ приводит к подобным выводам и в антиферромагнптном случае.
2) Так, сомнения, высказанные недавно Стенли и Капланом [9], о выводах
Ванье, можно считать опровергнутыми, хотя их альтернативные предположения
о переходе к состоянию без спонтанной намагниченности согласуются с нашей
теоремой.
400 Н. МЕРМЕН И Г. ВАГНЕР
и намагниченности подрешеток при температуре Т, показав, что при
достаточно малых полях h
I s* I <ц!/" (ДвУмеРный случай), (1)
| sz ] < С°^1 I h ]1/з (одномерный случай), (2)
где sz можно считать предельным значением намагниченности
на одну частицу при бесконечном объеме в однородном поле h
или разностью намагниченностей двух подрешеток в расчете на одну частицу
при бесконечном объеме в поле h (знаки в двух подрешетках
противоположны).
В доказательстве используется неравенство Боголюбова [41
| ({Л, А'}) {[[С, Я], Cf]> > квТ | {[С, А]) |2, (3)
где Я-гамильтониан; (X) = Sp Xe_BH/Sp е~0я; $=llkBT. Следующее
элементарное доказательство неравенства построено так, чтобы сделать
ясным, что оно справедливо только при условии, что операторы А и С
таковы, что усреднение по гиббсовскому ансамблю в левой части неравенства
(3) существует. Определим
, \у___\у.
(Л, Я) = 2 (i\A\j)*{i\B\j)-~^r,
i;
где сумма берется по всем г, / из полного набора стационарных состояний,
исключая пары с одинаковой энергией; Wi = е~^ЕЧSpe~PH. Отметим сначала,
что
1 <4-Р (Wi+W}),
Ej - Ei 2
и, следовательно,
(Л, Л)<|р({Л, А% (4)
Легко проверяется также, что (Л, В) удовлетворяет всем определениям
скалярного произведения. Так как (Л, В) - скалярное произведение, то
имеет место неравенство Шварца
(Л, Л) (В, В) >\ (Л, В) |2. (о)
Наконец, если выбрать Я = [С*, Я], то (Л, В) = <[С\ Л*]),
(В, В) = ([С\ [Я, С\\).
Неравенство (3) следует из выражений (4) -(б).
ОТСУТСТВИЕ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА В МОДЕЛЯХ ГЕЙЗЕНБЕРГА 401
Чтобы применить неравенство к гейзенберговской модели, положим
Н = - 2 /(R-R')S(R)-S(R')-A2S2(R)eiK к. (7)
RR' К
В ферромагнитном случае К следует положить равным нулю, а в
антиферромагнитном оно такое, что eiK R = 1, если R связывает узлы из
одной подрешетки, и равно -1, если R связывает узлы из разных подрешеток;
R и R' пробегают узлы решетки Бравэ с обычными периодическими граничными
условиями, подразумевающими наличие N спинов, J (0) = 0, J (- R) = / (R)
и взаимодействие J имеет конечный радиус *). Определим
s (к) = 2 e"ik RS (R)- s (R) = W 2gik RS (k)-
R к
/ (к) = 2 e_ik ¦ *J (R)' ;(R) = }H eikRJ (k).
К к
где суммирование по к всегда ограничено первой зоной Бриллюэна.
Если мы возьмем С = S+ (к), A = S-( - к - К), неравенство (8) даст
4-<{5+(к + К),5_(-к-К)})>
> N4cBTsl ^ [/ (к') - / (к' - к)] (sz (- к') (к') +
к'
+1 {S+ (к'), S- (- к')}> + 4 - (8)
где sz = (I/TV) 2 (Sz (R) eiK,R>. Знаменатель в правой части (8)
R
положителен, так как имеет вид (В, В) и, следовательно, меньше
(4-) !2/(R)(1-eik R)Se~ik' R\^(-k')5z(k') +
R к'
+1 {S+ (к к')}> j + 1 Л; ] hsz ] /n 2 |/(R)|(l-cosk-R)
R
>. 5(5 + 1) -f- V R4J(B)\S(S±i)k' + \hst \ ] .
R
___________________________________________________________ (9>
l) В действительности достаточно, чтобы ряд 2^2I^(^)I сходился.
R
402 Н. МЕРМЕН И Г. ВАГНЕР
Мы использовали тот факт, что
S (Si (k') Si (- к')) = К У, {Si (R) St (R)> = N> {Si (R0) S-t (R0)>
(10)
k' R
не зависят от R0. Заменяя знаменатель этой верхней границей
и суммируя обе стороны (8) по к, можно сделать вывод, что*)
-S(S-bl)>2№I-l 2 [S (S - 1) V ] / (R) | A(r) -f- ] hsz ] ] 1. (И)
к R
В пределе бесконечного объема неравенство (11) приобретает впд ¦5(5^1)>-
р- J ^|/(R)|^-f|/iSz|]_1-
1-я*3.бЛ R
(12)
где 1/р - объем, приходящийся на спин, a if -число измерений. Это
неравенство усиливается, если мы интегрируем только по сфере,
содержащейся в первой зоне Бриллюэна, так что если А0 есть расстояние
ближайшей брэгговской плоскости от начала координат в k-пространстве, то
.. 2лр5 (5 +1) to 1 .
s: <---------Er~*rin(l+o>/|/";i) (Двумерный случаи), (13)
