Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Маслов В.П. -> "Теория упругости для разномодульной среды" -> 24

Теория упругости для разномодульной среды - Маслов В.П.

Маслов В.П., Маслов П.П. Теория упругости для разномодульной среды — МИЭМ, 1985. — 100 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugostidlyaraznomodulnoysredi1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 >> Следующая

причем о <- i . Отсюда, используя (6.6),находим, что уравнение (6.2)
также имеет единственное решение и - \ДТа <- А. <. -\Д^~а .
Приступим теперь к проверке неравенства (6.3). Пусть А -
фиксированное число,
'Г7^~а= Y" , fc = vTtT - б" У" , - фиксированное число,
Д о. Разделив уравнение (6Л) на уравнение (6.5), получим уравнение для >
, из которого находим, асимптотическое
разложение для 'X- ~к( ?)•.
(6.8)
По У(т) из уравнения (6.5) находим асимптотическое разложение для
%
hW-iif(6-э>
Соотношения (6.8),(6.9) показывают, что при достаточно малых ^
выполняются условия , Jy (Д о.Следовательно, урав-
нение (6.2) однозначно разрешимо и его решение удовлетворяет неравенствам
-\ГГмГ г. oL( jp) ^ ~\1Т-Ц. Остается провесить неравенство
(6.3).Представим правую часть (6.3) в виде
ИЛl-fci /-.tffl-ffX ,_ургъ h \ , г,! И|6Л0) (.-iCj-V'iHi) S' *ф)
Ч'-
Если показать, что 5)+6^ С ¦) , 6>о , то из (6.8),
(6.13) будет следовать (6.3). В силу принадлежности интер-
- 97 -
валу (- Л+а -vA-ll) из уравнения (6.2) выгекашт неравенства
ч/У
(6.II)
+ \/Т+а 1
которые эквивалентны неравенствам
Из (6.8),(6.9) находим асимптотическое представление для К.(|^У.
Следовательно, из (6.12) вытекает (6.II). Тем самым доказана
неединственность задачи (1.1),(4.7),(3.7), -(.>/0 .
Замечание 6.1. 3 работе [10] доказана единственность решения задачи Коши
для уравнения (1.3) в случае гладких выпуклых функций в классе функций,
удовлетворяющих неравенству
где - некоторое действительное число. Отметим, что условие
(6.13) может не выполняться, например, в случае для
весьма простых и естественных начальных условий,т.е. при ограничении
(6.13), вообще говоря, не существует решения задачи Коши для линейного
уравнения при гладкой функции "U 0 ( X ) и кусочно-гладкой функции V "
(хф . Теорема 4.14- также показывает, что при условии (6.13) нет, вообще
говоря, решения задачи (I.I),
(4.7), (3.7), -1"о . По-видимому, условие (6.13)
обеспечивает
Таким образом, при о ,так как ^ ° имеем:
(6.12)
Заметим, что если \L~i~ 3->/(\Рг> 2), то
(6.13)
- 96 -
единственность решения задачи (4.7), (3.7) и для уравнения (I.I).
Доказательство такой теоремы единственности было бы весьма полезно,так
как она позволяет при доказательстве единственности решения задачи
(I.I),(4.7),(3.7) заранее исключить из рассмотрения ряд диаграмм,. Оба
решения, построенные в этом параграфе,не удовлетворяют условию (6.13).
Найденные решения не имеют неповредственной практической
интерпретации,так как для них не выполняется существенное физическое
ограничение u'x (х;-t) > - 1 . Это условие, учитывая однородность
уравнения (I.I) и условия (3.7), можно заменить более слабым условием U х
( х,!') > С , где С - некоторое действительное число. Однако и это
условие не выполняется для указанных решений,так как существуют
направления,по которыми'х(.х,4.) -* - 00 Тем не менее, эти решения вполне
"законны", так как обычно решение уравнений в частных производных
рассматривают в классах функций с суммируемыми производными. Приведенные
решения имеют производные, суммируемые со сколь угодно высокими степенями
(?¦-*¦•{) . Поэтому эти решения нужно иметь в виду при построении общей
теории обобщенных решений задачи Коши для нелинейных гиперболических
уравнений второго порядка.
- 99 -
Литература
1. Кнопов Л. Затухание упругих волн в Земле. В сб. физическая акустика,
т. Ш, ч. Б. Динамика решетки:М.',Мир,1968, с.344-387.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды.Т.1,-М.:Наука, 1970, 568с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости.-М.; Наука, 1965,202с.
4. Ломадин Е,В,. Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для
изотропного разномодульного тела", Изв. АН СССР.МТТ № 6, 1978, о. 29-34.
5. Рождественский В.Л., Яненко Н.Н. 'Системы квазилинейных уравнений и их
приложения к газовой динамике",-М.; Наука, 1978,
688 о.
6. Курант Р. Уравнения о частными производными.1-,М.'.Мир,1964,
830 о.
7. Ладыженская 0.А.Краевые задачи математической физики.-В.:Наука,
1973,406 с.
8.Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости.-М.,Мир,
1972, 184 о.
9. Олейник О.А. О единственности обобщенного решения задачи
Коши для одной нелинейной системы уравнений, встречающейся в механике.
Успехи математических наук,1957,т.12, вып.6,с.169-176.
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение................................................. 3
$ I. Физические задачи, приводящие к уравнению (I),
(2)................................................. 3
§ 2. Существование и единственность гладкого решения задачи Коши для
уравнения (I.I)........................ 9
§ 3. Обобщенное решение уравнения (1.3).Энергетическое условие и
удовлетворяющие ему разрывные ре-
шения .............................................. ;д
§ 4. Классификация разрывов обобщенных решений уравнения (I.I) и их
диаграммы. Существование и единственность обобщенного решения задачи Ковш
для
уравнения (I.I) ..................................... 31
§ 5. Столкновение ударных волн ........................... 76
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed