Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
/<x,X)U = /(y,Y)+?-[M
(6.1)
rfr17‘ .1*1=0'
п=1
^^ = 1^/(х,Х). (6.2)
Так как правая часть равенства (6.2) не зависит от т], то
= = LwlLwi(x’ Х)] ХУ (6-3)
и, вообще, для к > 1
^-;Х) = Lwf (х, X). (6.4)
Чтобы построить необходимые разложения теории возмущений Хори, положим
eW(x,X)= S Wn(x,X), (6.5)
П=
/(х, Х)= § /п(х, X). (6.6)
п=о
Тогда из (6.2) получим
е^х) = ^/а)(Х)Х)) (6J)
п=0
где
п
/п} (х, X) = 3 Lm+ifn-m (х, X). (6.8)
т=о
Вообще, для к > 1
ek df(k)^ Х) = ^ f(nk) (X, X), (6.9)
§ Ъ, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ЛИ 203
где
А4 (х, X) = a ZW&» (х, X). (6.10)
m= 0
Следовательно,
zk(dkf(;*\X)) =У1Ди(у,?), (6.И)
\ dri / п=о
1 1 п=о
где
/пк)(у. Y) = 2 w/^(y, Y). (6.12)
771=0
Так как преобразование х, X у, Y не зависит от t, то из
уравнения (3.13) следует, что
#(х, Х) = К (у, Y) (6.13)
или
ЦЯп(х,Х)=2/Сп(уЛ). (6.14)
п=в0 П=0
Подставляя / = Н (х, X) в уравнение (6.1) и используя (6.11), получим
Я0(у, Y) = tf0(y, Y), (6.15)
п—1
tfn(y, Y) = tfn(y, ?) + ?т^7^яГт)(у, Y) (п> 1), (6.16)
771=0
где
771
(У, Y) = 2 (у, Y). (6.17)
j=o
Эти соотношения и дадут формулы, необходимые для построения преобразованного гамильтониана в методе Хори. Перепишем соотношение (6.16) в виде
Кп(у, Y) = Нп(у, Y) +
к —2
+ ? Г^т+1Я„_^(у, Y) + Нт~т) (у, Y)] + LnH0 (у, Y).
m=°L (6.18) При подсчете Нт~т) по формуле (6.17) следует положить
Л» - - Я,„ - 2(,,„1+1)| (6.19)
т=о
204 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ (ГЛ. 11
Выпишем первые члены разложения преобразованного гамильтониана
К0 = Но,
Кх = Hi + ЬхНо,
Кг = Н2 4~ L\H\ Н—2~ (LiHo) + L%Ho, (6.20)
Кз — Н$ -}- ЬХН2 “Ь L^Hi -)- "0-Lx (Li (L]H§)) -j- L^Ho -}-
+ ~2 (L^Ho) -f- — Li (LxHi) + -g- L2 (LiH0)¦
Разумеется, соотношения (6.20) справедливы не только для гамильтониана, но и для любой функции от х, X.
ГЛАВА 12
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К ТРЕУГОЛЬНЫМ ТОЧКАМ ЛИБРАЦИИ КРУГОВОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Введение
В главах 7—10 подробно исследована задача об устойчивости треугольных точек либрации. По-видимому, для задач, связанных с исследованием треугольных точек либрации, следующим важным вопросом является вопрос о существовании, построении и устойчивости периодических движений, близких к точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Рассмотрению этого вопроса посвящена настоящая глава.
В 1899 году Шарлье (см., например, [9( ]), а затем в 1901 году Пламмер [163], использовав фундаментальные результаты Ляпунова [49] и Пуанкаре [82], установили существование двух семейств малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел. Затем последовало большое число работ в основном зарубежных авторов, в которых результаты Шарлье и Пламмера развивались и уточнялись. По-видимому, завершающей работой «немашинного» этапа исследования периодических движений вблизи треуголь-ных точек либрации можно считать работу Ю. А. Рябова 1952 года [83]. Методы, основанные на использовании ЭВМ, были созданы в работах Депри, Рэйба, Хенрарда, Шмидта и др. [114—123, 140, 165—167, 172], и к настоящему времени задача построения периодических движений, близких к треугольным точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел, получила большое развитие.
В работах Депри [114, 115] предложен метод аналитического продолжения, который тесно связан с классическими процедура ми Ляпунова и Пуанкаре и по сути дела сводится к рекуррентному вычислению коэффициентов разложения периодического движения в ряд по орбитальному параметру. В [114, 115] описан приспособленный для ЭВМ алгоритм нахождения этих коэффициентов, который позволяет учитывать в разложении периодического движения большие степени орбитального параметра.
Наверное, более интересна и эффективна другая модификация метода аналитического продолжения, основанная на использовании теории возмущений Депри — Хори и описанная в работах Депри и Хенрарда [116, 117].
Применение метода аналитического продолжения позволило сделать вывод о том, что из-за медленной сходимости рядов,
206
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
описывающих периодическое движение, для построения периодических орбит с большими амплитудами этот метод мало пригоден, даже если учитывать очень большие степени малого орбитального параметра. В этом случае на помощь приходит метод численного продолжения, впервые примененный в работах Рэйба [165—167] и наиболее полно описанный в работе Депри и Хенрарда [119].
В работах [114 — 121, 165— 167] методы аналитического и численного продолжения использованы для построения периодических орбит, рождающихся из треугольных точек либрации систем Солнце — Юпитер и Земля — Луна. Кроме того, в этих работах найдены характеристические показатели, соответствующие построенным орбитам.
В статье Депри [122] исследованы периодические движения при значениях отношения масс основных тел, больших критического значения [А*, а в работах [140, 172] рассмотрен вопрос о существовании периодических движений при таких значениях отношения масс ц., для которых их существование не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.
