Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Х(П) = _У(«) + п%сігу (4.13)
3=1
Х(") = - Y(n) + 2і СІ Yj, (4.14)
j=i
где У], n-j и YjiTV_j определены равенствами (4.11) и (4.12). Функции х<п> (х, X, t) и X<n) (х, X, t), входящие в обратное преобразование (3.20)—(3.21), получаются по простым формулам
x(n) (X, X, 0 = [x(n)J , Х<"> (X, X, t) = [Х<”>] . (4.15)
Y=X Y=X
Пусть функция Гамильтона Н (х, X, t; є) задана в форме
во
Я(х, Х,і;є) = ^^-Яп(х,Х,0. (4-16)
п=0
Преобразованная функция Гамильтона может быть найдена в виде
ОО
К (у, Y,f; в) = ?-?¦?„ (у, Y,t). (4.17)
п=о
Получим связь между функциями Кп и Нп.
§ 5] ФОРМАЛЬНАЯ ТЕХНИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 199
После применения преобразования Ли функция Я запишется
(см. (3.7)) в виде
со
Я(х,Х,(;е) = ^^Я(п)(у, Y,f). (4.18)
71=0
Из этого равенства и соотношения (3.13) получаем для п !> 1
К0 = Н0, (4.19)
Кп = Нп + Д<»>. (4.20)
Полагая в (4.8) / = Н + R, получаем
П
Я™ + = К пн - S СІК). п-;«. (4.21)
3=1
Но при помощи Н- и Л-треугольников (см. рис. 21) получаем я?° = Нп+1 + 2№W7«-m (П>0), (4.22)
771=0
= -[Жп+1], (»> 0). (4.23)
И, таким образом, из (4.21) — (4.23) получаем рекуррентные соотношения для вычисления преобразованного гамильтониана
Ко = Но, (4.24)
X
Кп = Яп + ? (Cn-iLjHn-j + cUKi, n-i) - ^, (4.25)
j=i
где
.ІУРРп 9PFn ти // ой\
“ST = ~аї-LnH<>’ (4’26'
Kj.i^LjKi— S C^LmK(4.27)
§ 5. Формальная техника применения преобразования Ли
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона
tfx дН dX____
dt ах ’ dt — ах '
с гамильтонианом
Я (х, X, і; е) = Но (х, X, *) + гНх (х, X, *) + -|г Я* (х’ Х’ 0 +
2!
+ "ЗІ" Я3 (х, X, f) -f- .. . (5.2)
200 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ [ГЛ. 11
Построим в явном виде несколько членов рядов, задающих преобразование, приводящее гамильтониан к виду
К (у, Y, f, Е) = Я„(у, Y.O + вад, Y,t) + ^rK2(y, Y, t) +
+ •ді-^з(Уі "Y, . (5-3)
Каноническое преобразование х, X -> у, Y представим в виде рядов
X = У + ey(D(y, Y, «) + -|iy(2)(y, Y, t) + -^-у(3)(у, Y,#) + •••, (5.4)
X = Y + eY(1) (у, Y,0+|- Y<2> (у, Y, t) + - J- Y<3> (y, Y, t) + ...,
(5.5)
а обратное — при помощи рядов
У =x + ex«(x, X, О +-|гх(2)(х’ X, г) +-L-х<3> (х, X, 0 + •••, (5.6)
Y = х + еХ(1)(х, х, о + 4х(2)(х- х> 0 + 4х(3)(*• х> 0 + • • •
(5.7)
Далее, любую аналитическую функцию ; (х, X, t; е) = /о (х, X, i) + s/j (х, X, <) + -fr /2 (х, X, і) +
Ч—зр /з (х> X, t) + ... (5.8)
после преобразования (х, X) -> (у, Y) запишем в виде ряда /(х, X, <; в) = /(0)(у, Y, t) + е/(1) (у, Y, t) + -J /(2)(у, Y, t) +
+ -J/(3)(y, Y,0 + -.. (5-9)
Рекуррентные вычисления начинаются с того, что выписываются очевидные соотношения
К0 (у, Y, t) = Н0 (у, Y, it), (5.10)
/(0) (У, Y, f) = /о (у, Y, f). (5.11)
Далее (см. (4.25)), нахождение членов первого порядка приводит к рассмотрению следующего линейного уравнения в частных производных:
K1(y,Y,t) = H1(y,Y,t)-^. (5.12)
Наложив на функцию Кх какие-либо требования (например, чтобы она тождественно обращалась в нуль, не содержала коротко
g 5J ФОРМАЛЬНАЯ ТЕХНИКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИ 201
периодических членов или удовлетворяла каким-либо другим ограничениям, вытекающим из содержания рассматриваемой физической задачи), можно из (5.12) вычислить функцию Wx (у, Y, t) и подсчитать следующие функции:
yd) = wlY, Y(1) = -wiy,
XW = _ yd), XW = - YW, (5.13)
/1,o = L1/W, fW =h + fu o,
необходимые для использования теории возмущений с точностью до членов первого порядка относительно е.
Для вычисления членов второго порядка предварительно находим
Кіл = LiKi. (5.14)
Дифференциальное уравнение для нахождения W2 (у, Y, t) имеет вид
K2 = H2 + LiHi + Ki,i-^. (5.15)
Выбрав W2, как это требуют условия исследуемой задачи, найдем из (5.15) функцию W2. Члены второго порядка искомых разложений будут затем подсчитываться согласно формулам
У і,і = ?іУ(1>, YM = Lx Y(1),
yW = W2Y + yi,i, Y(2)=-Wly + YM, (5-16)
X(2) = _ y(2) + 2ylflt X(2) = - Y<2> + 2Yltl,
/ід = /2,0 = L2/(0) — LJlt0, /(2) = /2 + 2/ia -f- /2i0.
Чтобы найти члены третьего порядка, сначала следует вычислить такие функции:
*1,2 = LiK2, (5.17)
*2,1 = Ь2Кг - ЬХК1Л. (5.18)
Дифференциальное уравнение для W3 (у , Y , t) имеет вид
DW
К, = Я3 + ЬгН% + 2Ь2Н1 + 2KU2 + Я м ^ . (5.19)
Найдя из этого уравнения функцию W3, можно вычислить затем
члены третьего порядка искомых разложений
Уі,2 = LiyW, Y1)2 = L, Y(2),
Уа,і = ^У(1) - ?іуі,і, Y2)1 = L2Y(1) - LxYia,
у(з) = vr3Y + 2ylt2 + y2)1, Y(3) = -W3y +2Ylt,+ Y2)1, (5.20)
х(з) = - y<3> + 3Уі,2 + 3y2tl, X(3) = - Y(3) + 3Y1)2 + 3Y2i1,
/1,2 = Lxp\ h,i = L2}W - Ljltl,
/s,o = L3ft°) — ?1/2,0 — ^2/1,0, /(3) = /3 + 3/1>2 + З/г.і + /3,0*
202
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ
[ГЛ. 11
Процедуру построения разложений (5.3) — (5.7) и (5.9) можно аналогично продолжить до любого порядка относительно е, используя соотношения (3.6), (3.7), (3.11) —(3.13), (3.20), (3.21), (4.7), (4.17) и (4.24)-(4.27).
§ 6. О теории возмущении, основанной на рядах Ли
В этом параграфе получим общие формулы метода возмущений Хори, основанного на рядах Ли. В методе Хори [142] функции / и W (см. § 3) явным образом от т] не зависят. Поэтому имеют место соотношения (см. также § 2)
