Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
“ п
W (х, X, f; л) = 2_, Wn+1 (Х’ Х’ (3'15)
П=0
а функция / снова имеет вид (3.6). Тогда, как легко проверить, соотношение (3.9) перепишется в следующей форме:
(х, X, f; л) = № (X, X, 0, (3.16)
п=0
где для п > О
п
/»>(х, х, f) = /„+i'+ 2 С„ Lm+i/rw-m,
m=o
Ltf = (/•№
Вообще, для і > 1, и n > 0 можно получить, что
¦i'-Li'-VX,!), (3.17)
^ п—О
где
дк) (х, х, о = /$?> + a czbrwfEs.
[m=0
Положив в последнем соотношении Л = 0, получим следующее рекуррентное соотношение, называемое в [143, 144] уравнением Депри:
/?>(У, Y, f) = /&» + S C?Lm+1f(n*:X, (3.18)
m=o
где для і > 1
?</ = (/у, Wn) - (/y, w,y).
В уравнении Депри
?п (у, Y, t) = U (у, Y, і), /ок) (У, Y, *) = /<*> (у, Y, *).
§ 3]
О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРІІ
195
Следовательно, уравнение Депри позволяет выразить функции /(п) (у, Y, t) через функции /„ (у, Y, t) = [/„ (х, X, *)1х=у. входящие в разложение (3.6). Процедуру вычислений очень удобно представить на треугольнике (см. рис. 20).
Например,
I,
f —frn Iо '
/(1) - /і + ¦f'l/o!
— /2 4~ Lifi -j- L2fo,
/<•> = /<» + ^/(D, (3.19 *
/Р = /з + Lifz + 2L2/i Дз/oi j, _
/<2) =/<1} + Li/P + L2/4 |i4
/(3) = /<*) + Li/W.
(1)
-f,
I-
c(Z)
(!)
¦I-
rtj)
/..
Рис. 20. / — треугольник
(рекуррентное преобразо-
Аналогичные вычисления для функций вание функции / при по-
тт г> V о л мощи преобразования Ли).
Н, л, у, і иллюстрируются на рис. 21.
Обратное преобразование можно записать в таком виде:
У = x + ?-Jx(")(x, X, 0,
п=1
со
У = Х+?ДХ<">(х, X, 0.
(3.20)
(3.21)
Чтобы найти связь между х<”>, у<п> и X<n>, Y<n\ исключим из (3.11)—(3.12) и (3.20)—(3.21) величины х — уиХ — Y и определим функции u (х, X, t, е) и U (х, X, t, є) при помощи следующих соотношений:
°° 71 °°
и (х, X, t, є) = ^ ^ х("> (х, X, t) = — У(п) (У» Y’ 0. (З-22)
П=1 71=1
о° ОО
U(x,X^,e)=^j±rX(n>(x,X,0 = - ?Д*(п)(у, Y,0- (3.23)
n=zl 71=1
Функции u и U можно представить так:
оо оо
п = у - х = ^ ^ Utl (X, X, 0 = ^ -g. u<"> (у, Y, t), (3.24)
П=1 П^1
U = Y-X = ??lUr,X, <) = ?? U'"’(У, Y, «)• (3.25)
^--1 п-=-\
7*
196
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ
[ГЛ. 11
Из равенств (3.22)—(3.25) получаем соотношения, позволяющие установить очень простую связь коэффициентов прямого и
Но ~Wu=Ra)
т
н,—
I I
(D и(г) ия>
^ \ і Н- треугольник
W,Y=y'"
(г)
Wat—*~R'S>
I I
-Wsl-----^Я(,г)—^Я(3>
I I t
1 /Э\ »
<2> P(s> _ C'f)
W2Y
I 1
Wfr—y,*—
I t I
И~w*y
Я - треугольник
-щ=у'»
-WZy-^Y'z)
\ \
-W3y Y'3!
\ L \
fS> . v(3)__________^v!V
у - треугольник
К- треугольник
Рис. 21. Треугольники для вычисления коэффициентов i/n\ гамильто-
ниана Н и остаточной функции R.
обратного преобразований:
un = x<n>(x, X, г), u<n> =
у(п) (у, Y, г),
и„ = Х(п) (X, X, г), и(п) = - Y(n) (у, Y, г). § 4. Упрощение алгоритма Депри
(3.26)
(3.27)
В алгоритме Депри, изложенном в предыдущем параграфе, функции /(п) (у, Y, г) определяются по функциям fn (х, X, г) при помощи уравнения Депри (3.18), содержащего некоторые вспомогательные функции f*\ Необходимые рекуррентные вычисления удобно приводить, используя уравнение (3.18) и треугольник, изображенный на рис. 20. Кэмил в работах [143, 144]
§ 4J УПРОЩЕНИЕ АЛГОРИТМА ДЕПРИ 197
предложил упрощение алгоритма Депри. В его модификации алгоритма Депри функции /(п) выражаются только через функции /п7 /(п-1)! • • -і /(0) путем введения вспомогательных линейных операторов. Подход, осуществленный Кэмилом, упрощает нахождение обратного преобразования и существенно сокращает вычисления, необходимые при использовании преобразования Ли в теории возмущений.
В этом параграфе изложим основные идеи, предложенные Кэмилом в его работе [143]. Перепишем уравнение Депри (3.18) в такой форме:
f(n ] = - a C-lW/n-m-1 (П>1, /с>0). (4.1)
тп=О
Путем исключения функций, стоящих в правой части уравнения
(4.1), можно получить выражение /?** через функции /(*+"), /(»+«-D,... . . ., В результате получим
fW = /(п+)0 _ 2 cjlGj/(t+n'3') (n > 1, к > 0), (4.2)
3=1
где Gj есть линейный оператор, являющийся функцией Lj, Lj_1; . . . . . ., Ьг. Подставив (4.2) в уравнение (4.1), получим такие рекуррентные соотношения:
Gj = Ц - 2 C?^LmGhm (1<7<п). (4.3)
771=1
Например,
Gi = Lu
G4 = Li — LxLi, (4.4)
G3 = L3 — Li (Z/г — LXL^) — 2L2Lx.
При /с = 0 и /с = 1 из уравнения (4.2) получаем
/(п)=/„+аед(п-я, (4.5)
j=l
Д1) = /(п+1) _ 2 ClG/n-^\ (4.6)
j=i
Если функцию Gy/^ обозначить через /у-,;, то уравнения (4.5) —
(4.6) можно переписать так:
/(п) = /п+ S d/i. n-i, (4.7)
j=i
/«> = /(П+1) - 2 Cifj>n-j+1, (4.8)
І=1
198
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ
[ГЛ. 11
где
/j,i = Ljf(i) — 2
т=і
Подставляя в (4.8) вместо / величины у и Y, можно при помощи треугольного алгоритма (рис. 20) получить такие рекуррентные соотношения для вычисления функций у(п) и Y("), входящих в разложения (3.11) и (3.12):
У <») = WnY+S1Ctiyjn_j. (4.9)
3=1
Y(n) = - W ny + S' cLiYj, n-j (4.10)
3=1
(:n > 1),
где
У}, і = ^'У(і) - 2 C??Lmy v (4.11)
m=\
Yj, і = L,Y(i) - S' Cj^Y^, і. (4.12)
m=l
Если теперь положить в уравнении (4.7) / = и и / = U (из соотношений (3.22) и (3.23)), то получим
