Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
(а, Р — const),
2) ехр (eLw) (fg) = ехр (eLw) f ехр (eLwg), (2.13)
3) ехр (eLw) (f-g) = (exp (eLw) /-exp (eLw)g)-
Каноническое преобразование (2.2) при помощи ряда Ли запишется в виде
х = ехр (eLw) у, X = ехр (eLw) Y. (2.14)
Преобразование, обратное (2.14), получается, очевидно, заменой знака є на обратный или, что то же самое, изменением на обратный знака функции W. Таким образом, имеем
у = ехр (eL-w) х, Y = ехр (eL-w) X. (2.15)
Важным достоинством ряда Ли является то, что он позволяет не только получить преобразование (2.14), но и произвольную функцию / от решения. Для любой аналитической функции
/ (х, X) справедливо следующее соотношение:
/ (у, Y, е) = / (ехр (eLw) У, ехр (eLw)Y)-exp.(eLw) f (у, Y). (2.16) В самом деле, очевидно, что
Lwf(y,Y,e) = (-^, Lwz*), (2.17)
где Z* — 2гс-мерный вектор, Z*T = (хъ . . ., Хп, Xi, . . ., Х„), a Lwz>* — 2п -мерный вектор, к-я компонента которого равна
Продифференцировав (2.14) по е, получим
^ = Lwz*. (2.18)
Из соотношений (2.17) и (2.18) следует, что
W (У. *..)=&.¦?) =1.. (2-М)
Аналогично подсчитывается, что іЛгЛу, Y, е) = 0
или
дп7
дгп
— LwJ (у, Y, 0) = Lwf (у, Y). (2.20)
в=0
§ 3]
О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРИ
191
Следовательно, разложение функции J (у, Y, є) в ряд Тейлора относительно є дает соотношения
Формула (2.16) доказана.
Пусть теперь функция / зависит от є и при малых е представима в виде ряда
Соотношение (2.22) легко получить, заметив, что, согласно (2.16)
Подставив затем (2.23) в (2.21) и приведя подобные члены, получим представление (2.22).
§ 3. О теории возмущений Депри
В этом параграфе получим общие соотношения, лежащие в основе теории возмущений, разработанной Депри в статье [ИЗ]. В методе Депри используется преобразование Ли, которое может бьщ> определено посредством системы дифференциальных уравнений
Здесь х, X — исходные координаты и импульсы,' у, Y — координаты и ишпульсы, полученные после преобразования (х, X, у,
П=0
Тогда при каноническом преобразовании (2.14)
/(у, Y, є) = ? CLw/n-m(y, Y). (2.22)
П=0 7П=Э
(2.23)
(3.1)
с такими начальными условиями при ц = 0:
X = У (*; є), X = Y (t; e), t = t, R = 0.
192 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ—ХОРИ [ГЛ. 11
Y — и-мерные векторы) R = К (у, Y, t; г) — Н (х, X, t; t]) — остаточная функция, К, Н — преобразованный и первоначальный гамильтонианы, W— производящая функция преобразования Ли (она отличается от производящих функций классических способов канонических преобразований, таких, например, как способ Биркгофа или Цейпеля), t — независимая переменная, є — постоянный малый параметр, т) — переменный малый параметр (0 т) є).
Убедимся непосредственно, что преобразование является каноническим. Действительно, имеют место соотношения
~ dx = dWx = (Wxx, dx) + (Wxx, dX) + Wxtdt,
~ бх = бWx = (WXx, 6x) + (Wxx, 6X),
dX = - dWx = - (Wxx, dx) - (WxX, dX) - Wxldt, -±-6X = -6Wx = - (W„, fix) - (WxX, fiX),
6R = - mt = - (Wrt, fix) - (Wxt, fiX).
Из этих соотношений следует, что приращения dx, dX, fix, 6Х и fiR, вызванные приращениями dy, dY, бу и 6Y удовлетворяют равенству
~ [(dx, 6Х) - (dX, бх) + dt бR] = 0. (3.2)
Из этого соотношения следует, что величина (dx, 6Х) —(<?Х, бх) -\-4- dt бR не зависит от г] и равна своему значению, вычисленному при г) = 0. Отсюда получаем
йг- »ХМ#. »«Мя=(т- »т)-(4г-
(3.3)
Следовательно, если х и X удовлетворяют системе канонических уравнений
dx дН dX дН /л
ЧГ - ~§уГ' ~1Г~ д%' ( v
то система уравнений для у и Y также будет иметь каноническую форму
dy дК riY дК (3 5)
dt ~~ дУ ’ dt — ду '
Когда функция IF не зависит от г], система уравнений (3.1) порождает ряды Ли (см. § 2); если же W зависит от г), то по терми-йологий, введенной Депри [113], система уравнений (3.1) порож-
3]
О ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЕПРІІ
193
дает преобразование Ли. Таким образом, можно сказать, что ряды Ли представляют собой частный случай преобразования Ли.
Пусть теперь / (х, X, t; ті) — произвольная бесконечно дифференцируемая функция, представимая в виде ряда
/(х, X, t; е) = ^-^-/„(х, X, t),
(3.6)
где
/п(х, X, t) =
Г дп [ дгГ
/(х, X, t\ Т|)
л=о
Подставив в (3.6) выражения переменных х, X через у, Y и е, получаемые при помощи преобразования Ли, представим функцию / в виде ряда
/(X, X, *;е) = ?Д/(»>(у, Y,t),
(3.7)
где
и
/(п)(у, Y.0-
п=о
j”
—ЇГ / (х, X, t; Г])
ar\
«). (з.8)
Отметим, что /0 (х, X, t) = / (х, X, і; 0) и /<°> (у, Y, t) = = / (У, Y, г; 0).
Покажем, как по набору функций /„ (х, X, г) разложения (3.6) построить набор функций /<"> (у, Y, г), входящих в разложение (3.7). Используя уравнения (3.1), перепишем соотношение (3.8) в виде
lk = + Lwf’
(3.9)
где Lw — оператор Ли, определяемый скобкой Пуассона
Lwf = (/• W0 = (/х, ИЪ) - (/х, W*). (3.10)
Положив в (3.7) / равным х, X и и используя (3.1), получим
х = У + ^~г У(п) (Уі Y, 0,
ті—-1
°о
х= Y + Z^rY<n)(y’ Y’°’
П=1
(3.11)
(3.12)
(3.13)
7 Л. П. Маркеев
194 ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕПРИ — ХОРИ (ГЛ. И
где для п > 1
/ dn~1 у(п) = ( _?
1 *1 /л-0
г-і \
= <314»
Пусть теперь функция W представима в виде ряда
