Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Для достаточно малых є линейная система с гамильтонианом (6.5) устойчива тогда и только тогда, когда величины (Т* не связаны соотношениями
0^ -f- о і = N (k, I = 1, 2,. . . , п\ N = +1, 4-2. . , .). (6.6)
Иными словами, знак минус в соотношении (6.4) можно опустить, а при выполнении хотя бы одного из равенств (6.6) всегда можно так подобрать Нг, Н2,- . . в (6.5), что соответствующая линейная система будет неустойчива. Число N в (6.6) отлично от нуля, так как среди величин сгл нет кратных.
§ 7. Нахождение областей параметрического резонанса
в первом приближении по малому параметру
Пусть величины a it в гамильтониане (6.5) зависят он некоторого параметра а. И пусть при значении а, равном а0, в изучаемой механической системе возникает параметрический резонанс, т. е. выполняется хотя бы одно из соотношений
Ok (“о) + ai (ао) = N = 1>2,. . • , п; N == ± 1 + 2,. . .). (7.1)
Когда соотношение (7.1) выполняется для к ~ I, т. е. когда
2 о* = N, (7.2)
говорят о простом резонансе; параметрический резонанс, для которого в (7.1) к Ф I, называют комбинационным. В этом параграфе мы покажем, что, как при простом, так и при комбинационном резонансах, при любом сколь угодно малом значении е может существовать область неустойчивости, и в плоскости а, є найдем ее границы с точностью до первой степени параметра е.
Будем предполагать, что выполняется только одно из резонансных соотношений (7.1). И так как в этом соотношении участвуют не более двух частот, то, без ограничения общности, задачу о параметрическом резонансе будем рассматривать для механических систем с двумя степенями свободы. Если бы число степеней свободы было больше двух, то переменные уj (/ ф к, I, п + к, п + I) могли быть исключены из Нг при помощи канонической замены переменных. Это будет видно из проводимого ниже анализа (число (7.13) для одночленов, содержащих ys (/ Ф к, I, п + к, п I), не будет
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
47
целым, так как существует только одно резонансное соотношение
(7.1) и оно связывает только частоты от* и at).
Пусть в (6.5) квадратичная форма Нг записана в виде
^i=2 ^л’гцщ, (0 Уі'Уі'Уз'і/і* (v = Vj + v2 + Ці + ц2). (7.3)
v=2
В (7.3) vk, — целые неотрицательные числа. Будем считать, что функции ftv.va141, (t) в их представлении в виде рядов Фурье не содержат нулевых гармоник. В противном случае часть Ні, не зависящую от t, мы включили бы в Н0. Найдем область изменения параметра а вблизи его резонансного значения ос0, для которой линейная система
dyk дН dy^ дН
(к =1,2),
dt дУі+к ’ dt дук
соответствующая функции Гамильтона (6.5), неустойчива. Будем считать, что при а = а0 выполнены неравенства
(М = 1,2).
Введем комплексно сопряженные канонические переменные qh, рк соотношениями
|?1 = Уз + їуі, ?2 = у* 4- гг/г. (7-4)
Рі = Уз — гг/і. Рг = г/* — їг/2-
Валентность канонического преобразования (7.4) равна 2і. Новый
гамильтониан равен 2Ш, где Н есть функция Гамильтона (6.5),
выраженная через qk, рк по формулам (7.4). Разлагая еще ак (а) в ряд в окрестности а0, получим
2iH = іаг (а0) qipі + іа2 (а0) q2p2 + і (а — а0) {-^qiPi + -4^ №] +
+ 6 йч&аіііі&іЯі'Рі 'Р%‘ + • ¦ • (7-5)
V—2
Точками в (7.5) обозначены члены не ниже второго порядка относительно величин е и а — а0. Коэффициенты aVlVl|i,n2 связаны соотношениями
®ViVjHiM,a = — aHi|XiV,\v
Явные выражения1 коэффициентов OvivsHjHj через коэффициенты гамильтониана (6.4) таковы:
a2000 — ~2~ [ЛюїоЧ- І (h()020 — ^jooo)]t a0200~ ~2~ 1^0101 0002—^020o)Ji
anoo — ~n~ [(^iooi Ч- ^ono) “Ь і (Лоон ¦— Лцоо)],
48 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
I
eiooi = “2“ [(Люоі — Лоно) + і (Лцоо + Аооц)]» (7-6)
вііио — і (Л2000 ~Ь Лоого)» аоіоі = і (Л0200 + Лоооа).
Сделаем каноническую замену переменных qh, рк -> дь, р’к по формулам
/7 7ч
Як—j-r-, Рк — -дГ-, (7.7)
где производящая функция S имеет вид
S = q-i.Pi + ЧіРч. + &w = qxp[ + + є 2 ^vjvihihj (t) ql'ql'pt'p'i'-
v=a
Функции U7v,v^i*it подберем 2я-периодическими и такими, чтобы в новом гамильтониане члены порядка е приняли по возможности наиболее простой вид. Из (7.7) получаем явный вид преобразования Як, Рк —*¦ Як, Рк с точностью до членов порядка е:
aw - aw /7 йч
Як = Як — &—^, Рк = Рк-\-ъ—т-, (7.8)
дрк ддк
где в функции W переменные qt, qz заменены на q[, q%. В переменных q'k, ріс новая функция Гамильтона Н' вычисляется по формуле [161
Н' = Н + ^-, (7.9)
где Н есть функция (7.5), выраженная через q\, ріс по формулам
(7.8). Из (7.5) и (7.8) — (7.9) получаем такое выражение для
совокупности членов Н', пропорциональных первой степени е:
2 ^vivrfiini (0 Яі 'Яъ tP\X'P‘ilt — DW -f- 2 ^iVtnaJi(0 Яі 'Яг *P\l Pi >
V=2 v=2
(7.10)
где через D обозначен оператор
о = to, OM)
Приравняв в тождестве (7.10) коэффициенты при Яі'Яі’Рі'Р^, получим дифференциальное уравнение для
dw. . /
---"*' + І [(Jl ("Vi — Ці) + cr2 (v2 — Ц2)] !WviV,№ = — ^ViVfUm,-
(7.12)
Рассмотрим это уравнение подробно. Для простоты записи у функций wVitw„ a'vwviи не будем писать индексы и введем
§ 7) НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ 49
