Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
G®?= §G(v)g(u — v)dv= ^g(V) G (и — v)dv. (2.10)
Теперь можно найти преобразование Фурье для квадрата модуля /(х), понимая под F функцию /* (х), сопряженную с f(x). Заметим, что G (и) — g* (—и) и найдем две эквивалентные формулы:
T I /(х)|2 = j J f(x)\2h(2«ux)dx =
= S g* Иg (U + V) dv'= ^g (V) g* (v — u) dv. (2.11) Полагая и = 0, находим
JlZWI2^ = J Ig(O) \Чи; (2.12)
это соотношение выражает закон сохранения энергии.
§ 5. Случай функции двух переменных
Можно непосредственно обобщить предыдущие результаты на случай функции двух переменных х и у. Мы ограничимся тем, что напишем соотношения, вытекающие из определения преобразования Фурье и из теоремы Парсе-валя. Выводы этих 'Соотношений подобны проведенному выше с той только разницей, что знаки переменных и' и Гл. 2. Преобразование Фурье
37
(2.13)
v' в случае необходимости следует изменить: g (и, V) = J J / (х, у) h [2тг (их + vy)} dxdy,
/(*, У) = JJ g(u, V) h [— 2л (их + vy)]dudv,
J j / (*> У) P (*> У) h [2it (их + vy)) dxdy =
= JJgr(и — «', v — v')G(u', v') du'dv'- (2.14) в частности, если F= /*, то
JJ I / (*, У) I2 h [2тг (их + vy)) dxdy =
_ J J 8 («' + у' + у) Sr* («', V) du'dv', — I с с (^-15)
JJg- (u', V') g* («' — и,г/ — V) du'dv'.
Замечание. Соотношения (2.13) могут быть написаны в еще более сжатой форме, если использовать векторные
O(P)
R
ж
Фиг. 12.
обозначения. Пусть M — точка с координатами х, у, а P — точка с координатами и и v в «преобразованной» плоскости. Тогда можно написать
g(P) = JJ/(M)ft(2«M-P)dSf /(M) = JJ^(P)/г (-2*М-Р)гі?,
(2.16) 38
Часть 1. Основы теории
где dS и dH — элементы части плоскостей (исходной и «преобразованной»), в которых размещаются M и Р.
Вектор P полностью характеризует осциллирующую составляющую функции /(M); его модуль представляет пространственную частоту или величину, обратную «длине волны», а направление совпадает с направлением нормали к «волнам», если допустить здесь сравнение составляющих функции /(M) с системой неподвижных волн. Фиг. 12
схематически представляет две винтовые функции в плоскости М, соответствующие точкам P1 и P2 плоскости Р.
§ 6. Некоторые часто встречающиеся преобразования Фурье
Отметим ниже несколько классических результатов, которые могут быть получены без труда.
а) Ступенчатая функция (фиг. 13) определяется с помощью функции Rect(Ar), которая равна либо 1 (в промежутке — V2 < X < + 1I2), либо 0 (для всех остальных значений х)\ условимся называть ее функцией-щелью:
/W=lRect(|) =
- при О при J
I <
(2.17)
, ч sin паи . , -
S M = Itar- =slncH")- Гл. 2. Преобразование Фурье
39
б) Предельный случай ступенчатой функции (фиг. 14); пусть при а 0 функция f(x) становится бесконечной в точке к = 0, в остальных точках всюду равна нулю, но ее интеграл остается равным единице — это дельта-функция Дирака Ь(х): g(u)=\.
в) Двумерная функция (для краткости будем называть ее функцией-прямоугольником):
f(x, у)-± Rect(^)Rect(I) =
1
если
<
а
= \ab' I Л I ^ 2"' I У (о в прочих точках,
sin паи sin nbv
<
(2.18)
• (и, V)
лай
nbv
г) Предельный случай функции (2.18): если а-> 0 и b оо [условно примем для нее название функция-линия
fix)
д(и)
і
X и
Фиг. 14.
(фиг. 15)], то можно предположить, например, что ab =з 1 (площадь прямоугольника постоянна), функция f(x, |/)=1 вдоль оси Oy и О в прочих точках; тогда
g(u, V)'
1, если D = O (ось Ou), О, если V tf 0.
,, д) Другой предельный случай: если а-> О и b О (функция-точка), то f(x, у) есть дельта-функция двух переменных и g (и, v) = 1. 40
Часть 1. Основы теории
Фиг. 15.
IiflM ''МШ//,
Jf ь/ Ж?
WA fix, у) _ ! лаг Г
'Щ, т/10//1
t .W-
Фиг. 16.
е) Для функции, изображенной на фиг. 16 (функция-круг), имеем
{ 0, если ^ " »
(2.19)
g (р) = причем P = Vu2 + V2,Z - 2*ра Гл. 2. Преобразование Фурье
41
(J1— функция Бесселя первого порядка). Действительно находим
а 2п а
5 Л (2*рг cos <р) rdrd<? = ± ^ rdrjo (2ltpr) = ob o
В гл. 5, § 1, приведена таблица численных значений g (р) (табл. 1, стр. 87).
ж) Функция Гаусса одной переменной; исходя из равенства
-(-OO
5 ехр (-^jd* = а, (2.20)
—OO
можно показать, что если
/(*) = ех р(—ir^j, то g(u) = а ехр (—ад2«2).
з) Функция Гаусса двух переменных; можно показать с помощью того же соотношения, что если
/(*,*/) = ЄХр(_Я * +
то
g(u,v) = а2 ехр [-Tta2 (и2 + У2)]. (2.21)
Следовательно, функция Гаусса одной или двух переменных преобразуется в другую функцию Гаусса.
и) Функция, изображенная на фиг. 17 (функция-треугольник), представляется следующим образом: Tr (*)= J= 1 —1*|, если 1*1 < 1, и равна О 8 прочих точках. Для 42
Часть 1. Основы теории
нее имеем
= =Sinc2M. (2.22)
На этом частном случае оправдывается соотношение (2.11), поскольку функция Tr (х) есть не что иное, как функция, взаимосвязанная с функцией Rect (х):
+ 00
Tr(X)= j Rect (х) Rect (у — х) dx.
—00
