Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
{ ----
1
у I ----- Tl
5 1 P
О 3 5
P P P
Фиг. 10.
§ 2. Представление некоторых функций с помощью интеграла Фурье
Чтобы охватить случай непериодических функций, можно попытаться устремить период р к бесконечности. Основной интервал тогда становится бесконечно большим, и с его помощью можно представлять непериодическую функцию. При этом условии 1 Ip стремится к нулю, и мы выполним переход к пределу в формулах (2.1) и (2.3), переписав их в виде
со
cos 2ir— ^/(X)cos 2« — dX +
P
+ sin 2 K-^f (X) sin 2u ^ dx
Этот бесконечный ряд можно представить интегралом, если положить п!р = и и 1/р = du (и является частотой в общепринятом смысле этого слова, если за перемен-
-foo
ную X принять время). Примем, что ^ f(x)dx не равен Гл. 2. Преобразование Фурье
33
бесконечности, тогда первый член обращается в нуль, и мы при этих условиях получаем выражение
OO ,
f (х) = 2 J ("cos 2KUX J f (X) cos 2nuXdX +
о L P
+ sin Inuxl f W sin 2nuXdX] du, p J
(2.5)
В сущности, мы довели до нуля интервал р, отделяющий величины ап, Ьп от ап+1г Ьп+г (см. фиг. 10), и благодаря этому получили возможность представить функцию, распространяющуюся на весь период р от —со до +оо. Следовательно, любая функция (при условии, что она остается всюду конечной и интегрируемой) может быть представлена в виде суммы бесконечного непрерывного множества синусоидальных составляющих. Формулу (2.5) можно еще написать в более сжатой форме, принимая в качестве амплитуд величины а (и) и Ь(и), которые заменят теперь ап и bn: -)-00
COS
а (и) Ь(и)
= S /W
Sin
2 TiuXdX,
(2.6)
f(x) = 2 J [а(и) cos 2ких + b (и) sin 2ких] du-, (2.7)
амплитуды а (и) и Ь(и) служат показателями большего или меньшего значения той или иной частоты в представлении 1{х). Первое уравнение сводится к поискам периодичности в f(x), или к гармоническому анализу f(x). Иногда говорят по аналогии с задачей разложения белого света на монохроматические составляющие, что совокупность а(и), Ь(и) представляет спектр функции f(x). Если, в частности, / (х) является периодической функцией, то ее спектр состоит из дискретного множества сигналов, соответствующих только основной частоте и ее гармоникам.
§ 3. Интеграл Фурье в комплексных обозначениях
Если использовать экспоненциальные функции вместо тригонометрических, формулам (2.6) и (2.7) можно придать более симметричную форму, которая, кроме того,
3 Зак. № 5090 34
Часть 1. Основы теории
может быть непосредственно применена к комплексным функциям f(x) переменной X. Заменим в указанных формулах тригонометрические функции их значениями, согласно формулам Эйлера. Из формул (2.6), используя для упрощения запись eix = ехр (ix) = h (х) (функция-винт), сразу же получаем
+00
2 а (и)= J f(x)[h(2i:ux) + h(—2nux)]dx,
—00 -)-00
2іЬ(и)= I f (X)Ih (2 ких) — h (— 2irих)] dx.
— 00
Положим
+00
g(u) = j f(x)h(2KUx)dx=a(u)+ib(u),
-OO
тогда
+00
g(~u) = J f(x)h( — 2ъих)dx = a(u) —ib(u).
—OO
Формула (2.7) перепишется после элементарных преобразований следующим образом:
OO
/ (х) = I [g(u)h( —2ких) + g (— и) h (2-ких)] du.
Меняя частоту в пределах от — оо до +оо, можно написать в общем виде преобразование Фурье в сим^ метричной форме
+00
g(u)= J f(x)h(2^ux)dx = T[f(x)),
—00 +00
f(x)= j g(u)h(-2Tzux)du = T-^g(U)].
(2.8)
Две функции f(x) и g(u) играют, следовательно, симметричную роль, причем каждая из функций является «спектром» другой. Условные обозначения T и Г-1 определяют соответственно преобразование Фурье и обратное ему преобразование. Гл. 2. Преобразование Фурье
35
Чтобы проиллюстрировать использование обозначения h(X) = ехр(/Х), приведем на фиг. 11 случай, когда f(x) содержит только одну составляющую с частотой 1 Ip, так что f(x) = ехр(і2кх/р). При этом функция g(u) всюду равна нулю, исключая точку и = 1/р, и f(x) представляет собой комплексную функцию, которую можно изобразить на комплексной плоскости Г, расположенной
перпендикулярно оси абсцисс. Кривая, определяемая в пространстве, одна из осей координат которого имеет мнимую составляющую, представляет собой винтовую линию.
§ 4. Полезная теорема: теорема Парсеваля
Рассмотрим две функции f{x) и F (х), преобразования Фурье которых суть g(u) и G (и). Найдем преобразование произведения функций f(x)-F(x). Для этого нам нужно вычислить
+ 00
T (fF) = J / (X)F (х) h (2шх) dx-,
—OO
это можно переписать, заменяя F (х) согласно (2.8), что позволяет получить функцию F по известной функции G
3* 36
Часть 1. Основы теории
(переменную интегрирования обозначим через и):
+со Г+оо
J f(x)h (2шх) 5 G (V) h (— 2icvx) dv
dx.
Переменив порядок интегрирования, получим J G (и) Д / (х) h [2я (и — V) X) dx } dv, что можно легко свести к следующей форме записи:
T (fF) = ^G(v)g(u — v) dv. (2.9)
Следовательно, преобразование Фурье произведения f(x)-F(x) выражается просто через преобразования g и G с помощью особой операции интегрирования, называемой сверткой функций g и G. Обозначая знаком ® эту операцию, легко показать, что преобразование свертки можно равным образом написать в виде
