Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марешаль А. -> "Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света" -> 7

Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.

Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света — М.: Мир, 1964. — 295 c.
Скачать (прямая ссылка): strukturaopticheskogosveta1964.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 73 >> Следующая


равно R2d$'di', получаем

z(y'z')=fh{-kR)§F®', Т')Х X h [-kW у'+f z')] dpdf.

(1.5)

Расчет электрического поля E(у', г') в плоскости y'Cz', перпендикулярной оси, приводит к преобразованию

X'

Фиг. 6.

Фурье функции F, представляющей собой распределение электрического поля на сфере сравнения S с центром в точке С. В самом деле, фаза постоянна на волновой поверхности 2 и равна k А на сфере 5; можно утверждать, что E0h(k А) естыне что иное, как электрическое поле на сфере 5. Образование дифракции выражается математически в виде преобразования Фурье, поэтому полезно изучить основные свойства этого преобразования (см. гл. 2). Не следует, однако, забывать, что это преобразование применимо только для случаев, когда относительное отверстие прибора невелико. ГЛАВА 2

Преобразование Фурье

Здесь мы кратко рассмотрим некоторые определения и напомним некоторые свойства рядов Фурье и интеграла Фурье. Мы, конечно, не будем заниматься разбором математических трудностей, связанных с их сходимостью, но допустим, что последующие результаты применимы к функциям, представляющим, в частности, распределение электрического поля на зрачке: эти функции никогда не становятся бесконечно большими и могут обладать только простыми разрывами (например, на границе зрачка).

§ 1. Представление периодической функции рядом Фурье

Элементарное изучение законов акустики показывает, что любые периодические колебания с частотой v=l/Т могут быть разложены іна бесконечно большое число синусоидальных составляющих с частотами v, 2v, 3v,... . Звук с частотой v является основным звуком, а остальные составляющие — его гармониками.

Можно также показать, что периодическая функция f{x) переменной X периода р (фиг. 7) может быть представлена в виде суммы синусоидальных функций, соответствующих периодам р, р/2, р/3,... (т. е. последовательные частоты образуются прибавлением основной частоты 1 Ip).

Прежде всего запишем функцию f(x) в виде тригонометрического ряда

/(*) = af + A1 cos 2-f- + b, Sin^ + . . . ... +ancos + bnsinn (2.1) Гл. 2. Преобразование Фурье

29

не рассматривая здесь условий, при которых этот ряд сходится. Очевидно, что если ряд представляет функцию f(x) внутри одного периода, то он будет представлять ее для всех значений переменной. Остается только вычислить коэффициенты ап и Ьп, которые определяют каждый из членов ряда, имеющих частоту

Фиг. 7.

п/р. Проинтегрируем для этого в пределах одного периода произведение f (х) cos (2- тхір) или / (х) sin (2т: тх/р)\ получим

J/ (х) cos 2тг — dx

VAJ

j [> + 2 [ап cos 2. f + bn sin 2тг fj) cos 2. f dx,

P ' і

но, поскольку

Г о nx с, mx ,

\ cos 2t. — cos 2t. — dx =

\ D D

fO при ti Ф m,

Y при n = m,

С . 0 nx 0 mx , _ ^ sin 2u — cos 2тг ~ dx = 0,

все члены, кроме одного, оказываются равными нулю, и мы получаем

Innx



COS

P dx = fan.

(2.2)

Аналогичный результат получается для синуса. 29

Часть 1. Основы теории

Вычисление коэффициентов, таким образом, выполняется весьма просто, и, объединив результаты, имеем для ап и Ьп

_2 P f(xx I cos I 2JtrtX

P ~ Ioif

Ctn

К

¦dx.

|sin| P

Эта формула применима для значений п от О до со.

(2.3)

Фиг. 8.

В качестве примера рассмотрим разложение в ряд Фурье прямоугольной пилообразной функции П(х), которая принимает значения либо +1, либо —1 с периодом р, также равным единице (фиг. 8).

Находим, принимая за период интегрирования интервал от -V2 до +V2,

J/(*>

J /(X)Si

Sin-

P

2япх

2япх J _

cos-dx = О,

P

dx

О,

2_ яп

если п = 2k, если /г = 2k+ 1,

иначе говоря,

ап = 0, bn = — для п нечетного, " яп

bn = О для п четного. Эта функция при любом периоде р может быть пред- Гл. 2. Преобразование Фурье

31

ставлена следующим рядом:

_ / х \ 4 / . 2ял: , 1 . г, 2ях , 1 . _ 2ях , \ /0 п(р) = я(51П1Г + 1Г-«пз —+ т:Sino^r + ...).(2.4)

Интересно посмотреть, как при увеличении числа членов ряда представление функции делается все более и более точным. Мы приведем для этого на фиг. 9 две кривые,

Фиг. 9.

представляемые только одним первым членом ряда (верхняя) и тремя первыми членами (нижняя).

Отметим, что ряд Фурье может легко представлять функцию, имеющую разрывы. Не трудно доказать, что численное значение ряда равно нулю в точке, где функция делает скачок от —1 до +1. В общем случае оно равно среднему от значений f(x) в точках до и после разрыва.

Наконец, с периодической функцией f(x) можно связать бесконечный ряд значений ап и Ьп, которые легко вычисляются по данной функции f (x) и являются коэффициентами различных синусоидальных членов тригонометрического ряда. Можно схематически представить результаты вычислений, нанося величины ап и Ьп в виде функ- 32

Часть 1. Основы теории

ции частоты nip (фиг. 10). Такое представление функции f(x), очевидно, строго ограничено случаем периодических функций, но мы увидим, что его можно обобщить на случай непериодических функций В области OT —0° ДО +СО.

(On)
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed