Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 1. Гл. 1. Принцип Гюйгенса — Френеля
19
и нужно требовать, чтобы формулировка принципа Гюйгенса удовлетворяла следующим условиям.
1. Если задано распределение полей E и H на замкнутой поверхности S, а также их производные вдоль норма-
Фиг. 2.
выразить в виде суммы колебаний, посылаемых различными элементами S.
2. Если 5 является замкнутой поверхностью, окружающей источник, то полное электромагнитное поле в точках, лежащих между S и источником, должно быть равно нулю (не существует обратной волны).
3. Элементарные волны, дифрагированные каждым элементом поверхности S, должны являться истинными электромагнитными волнами.
Эти условия выражаются различными формулами, которые, очевидно, легко могут быть выведены одни из других. Особенно удобный вид этих формул был предложен Крозе, Дармуа и Дюраном (Croze, Darmois, Durand, 1949). Если E и Н —поля на поверхности S, п — нормаль к 5 в направлении распространения, г —расстояние от элемента поверхности до точки P (фиг. 2), в которой нужно определить составляющие полей, то Можно положить (k = 2яД)
CP (г) = ехр ikr^ = YW г г
Через h(x) мы обозначим функцию ехр (ix), которую в дальнейшем будем встречать очень часто и назовем
2* 20
Часть 1. Основы теории
функцией-винтом (см. также гл. 2, в которой уточняется это определение).
Введем векторы а и а', определяемые соотношениями
4a=[nXH0]A-^HW = [iiXE0]o (1.1)
Тогда электрическое поле, возбужденное в Р, выразится в виде суммы полей E' и Е" соответственно электрического и магнитного происхождения:
Ep = j j (Е' + Е") dS
(S)
при
E' = ~ika+ igrad diva, E" = rot a'.
Здесь мы не будем приводить вывода этих формул (установленных для случая пустого пространства), но покажем, как их можно преобразовать для наиболее часто встречающихся применений (в оптике.
Отметим также, что принципу Гюйгенса можно придать форму, более общую и более симметричную по отношению к источнику и приемнику. Очень интересные выражения приведены Робье (J. Robieux, 1959); они могут быть использованы главным образом при изучении распространения коротких волн.
§ 2. Упрощенное выражение дифрагированного поля
В вопросах, которые мы будем излагать, в большинстве случаев мы основываемся на следующих предположениях.
1. Длина волны \ мала, в частности, по сравнению с длиной г (но фазовый множитель kr — величина большая).
2. S можно принимать за волновую поверхность 2 (или по крайней мере за поверхность, близкую к ней). E0 и H0 тогда касательны к ней (см. дополнение 1), и Гл. 1. Принцип Гюйгенса — Френеля
21
мы имеем
-ё-«Р(г) и а'
4я
поскольку величина kr велика, можно, кроме того, на-писать1'
w CD (г) = — Ikс? (г), d2
_cp(r) = — A2cp (г).
Фиг. 3.
Пусть i, j, к —три единичных вектора прямоугольной системы координат х, у, г, причем і расположен вдоль линии MP (фиг. 3); тогда получим
grad г = і,
Ed /. дф і J ^Ф _L Ir дф
дг
ik 4л
E0-і ?(г),
ik
grad div a = Jjt (E0 • і) (г) grad г.
1) Величину г, находящуюся в знаменателе, можно считать по. стоянной. —Прим. ред. 22
Часть 1. Основы теории
Используя предыдущие соотношения, находим — ik a + ^grad div а =
= ?lE0-(E0.|)i]?(r) =
= р (г),
где Е0>,г — проекция E0 на плоскость yz.
С другой стороны, считая H0 постоянным, имеем
rot a' = ± rot [H0Cp (г)] [grad с? Х H0] =
= -?<Р<г)[1 X H0].
Наконец, получаем выражение для дифрагированного поля:
ЕР = ЇЯ й + [Н° Х Г1) ? (Г) dS¦ (1 -3)
Если точка P лежит весьма близко от нормали к 2 (световой луч), то при этих условиях можно принять, что [H0XiJ=E0. Отсюда можно вывести очень простое выражение для дифрагированного поля. Для этого, поскольку г = R — А, где R — радиус поверхности сравнения S1 предполагаемой сферической, напишем
m M - _ h ~ h(-kR) . /jt,\\
tP \П---r дГГд R п
Теперь имеем
Ер ж i. Ai^l ^E0A (H) dS. (1.4)
Так выражается в наиболее строгой форме принцип Гюйгенса для амплитуд дифрагированной волны вблизи центра почти сферической волны. Множителя, стоящие под интегралом, соответствуют наглядной форме принципа Гюйгенса: поле в точке P получается как сумма полей Eq, распределенных на волновой поверхности, и изменение Гл. 1. Принцип Гюйгенса — Френеля
23
фазы происходит в результате изменения оптического пути А. Присутствие коэффициента 1 /R вполне естественно (уменьшение в R раз амплитуды дифрагированных волн необходимо для того, чтобы энергия оставалась постоянной в направлении распространения). Однако формула
(1,4), кроме того, показывает, что если нужно найти точную фазу колебания в Р, то необходимо (с помощью множителя і) ввести опережение на четверть периода — доказательство см. в дополнении 2.
Остается выразить с помощью формулы (1.4) дифрагированное поле в непосредственной близости от центра сферы сравнения, с которой сравнивают волновую поверхность: это дает возможность определить распределение амплитуд в плоскости изображения.
Полезно отметить, что, согласно выражению (1.4), максимум дифрагированного поля будет в направлении нормали к волновой поверхности 2 (это направление соответствует направлению распространения света), а равное нулю поле—в противоположном направлении. Действительно, в обоих случаях E0yz=E0; в точке P1, расположенной в направлении распространения света, мы имеем (фиг. 4)
