Структура оптического изображения. Дифракционная теория и влияние когерентности света - Марешаль А.
Скачать (прямая ссылка):
А = B^ + Cf2; ограничиваясь точками, расположенными на оси 2' = 0, получим
А' = А + РУ. Гл. 9. Влияние аберраций: общий случай
195
На практике в случае больших аберраций нужно вычислить интеграл
j j h [k (?y + врз +cT'2)] d?' df =
= f{C)\h[k{Vy' + Bf)]d?, (9.17)
где f (C) — некоторая функция, не представляющая для нас интереса.
Предыдущее выражение может быть приведено к виду
+00 OO
J h [k (?y + ??'3)] d?' = 2 j cos k (?y + B$'s) d?'.
—oo O
Вычисления показывают (Bouasse, 1923), что изменение квадрата амплитуды в зависимости от у' можно представить кривой, изображенной на фиг. 90. Максимум
освещенности здесь располагается не на краю каустики у =0), а в точке M', расположенной на выпуклой стороне каустики; это легко объяснить, замечая, что сфера S' с центром в M' остается ближе к волновой поверхности Б на значительно большем участке, чем сфера 5 (фиг. 91).
13* 196 * Часть III. Влияние аберраций
§ 8. Влияние произвольных геометрических аберраций на множитель контраста
В гл. 8, § 6, рассматривалось влияние малых аберраций на множитель контраста периодической составляющей; результаты, полученные Стилом, познакомили нас с изменением закона фильтрования пространственных частот в том случае, когда аберрации прибора малы. Рассмотрим теперь влияние более значительных аберраций, следуя методу, разработанному, в частности, Гопкинсом (Н. Hopkins, 1957).
Вернемся к выражению (3.4) для множителя контраста; для упрощения записи составляющие р' и v' пространственных частот заменены здесь величинами, им пропорциональными:
P = Xp', т = Xv',
которые представляют собой, как показано на фиг. 92, направляющие косинусы одного из двух симметричных Г л. 9. Влияние аберраций: общий случай
197
направлений дифракции от синусоидальной решетки, пространственная частота которой имеет составляющие V-', V.
С другой стороны, можно написать выражение (3.8), используя более симметричные обозначения:
Это означает, что поверхность интегрирования является общей частью площади, заключенной внутри двух контуров зрачков, смещенных соответственно на ±?/2, + Т/2 (фиг. 93). Но F($',f) = E0h(kA) и F*(?', f) = = E0h(—kb), откуда выводим основное выражение
d(?'t Y) = ^^h{kb)d^d'{' (9.18)
и
S (?\ T', ?. Т) = A (?' + f . T' + і) - A (?' - 4 . T' - і).
Для заданных значений ?, т интеграл (9.18) имеет тот же вид, что и интеграл, с которым была вычислена функция E(y't г') с помощью A(?', f) 198 *
Часть III. Влияние аберраций
Фиг. 93.
(см. гл. 8, § 2); следовательно, для вычисления его можно применить те же приемы. Изучим прежде всего случай, когда 8 остается малой величиной; разложим в ряд Тейлора экспоненту под интегралом (9.18):
g h (kl) d?' df = \\ (і + ikb - ^) d?' df, ^ d?' df = со, получаем
или полагая
d(?', T') = #2co(l —
Множитель контраста — комплексное число, модуль которого в этом приближении равен
M (?, -O = Id (Р, і) I = R^ {l - 4" I** - '
а аргумент имеет вид
6 (?, Т) = kbl
Следовательно, модуль множителя контраста в присутствии аберраций убывает, причем падение контраста равно Г л. 9. Влияние аберраций: общий случай
199
Можно это падение ограничить величиной 20%, что приводит к допустимой аберрации:
Это условие позволяет определить максимальное значение какой-либо аберрации только в том случае, когда известна величина наблюдаемой пространственной частоты. Однако вопрос упрощается, если изучается случай пространственных частот, малых по сравнению с предельной частотой. В самом деле, известно, что совершенный фотографический объектив, открытый, например, до отверстия /72, позволяет пропустить все частоты, не превышающие 2а'IK= 1000 периодов на 1 мм (для X=0,5 мк). Однако обычно применяемые фотографические эмульсии позволяют регистрировать только те сигналы, период которых меньше нескольких сотых миллиметра, т. е. полоса практически используемых частот редко достигает 100 мм~х и в 10 раз меньше группы частот, пропускаемой совершенным прибором. Следовательно, более подробное изучение случая малых пространственных частот представляет определенный интерес.
§ 9. Приближенные формулы для малых пространственных частот
В этом случае можно получить 8 с помощью разложения в ряд Тейлора. Если разложить A (?' + ?/2, у' + у/2) и A(?'— ?/2, Y — у/2) по ? и у, то получим, полагая для упрощения записи у = 0:
S(?',y',?,0) = §*T? + ^r.^р»+.... Ограничиваясь первым членом, можем написать
s = ?A;,.
Но Ар, представляет наклон волновой поверхности относительно сферы сравнения, или наклон нормали к волновой поверхности относительно нормали к сфере; таким образом, проявляется опять роль лучей, и мы возвращаемся к геометрической оптике, ? и у могут прибли- 200 *
Часть III. Влияние аберраций
жаться к нулю либо когда пространственные частоты р' и v' становятся малыми, либо когда длина волны мала: таким образом, постепенно переходим к предельному случаю малых длин волн, т. е. к геометрической оптике.
Известны соотношения1', которые связывают координаты у', г' точек пересечения световых лучей с плоскостью изображений и частные производные от А, а именно у' = Aj3,, г' = A^,.
